Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Методы и алгоритмы принятия решений», страница 14

·  Правила голосования: большинство, у председателя – 2 голоса, представительное большинство (2/3), абсолютное большинство (3/4), консенсус (100%), право вето, «диктатура».

·  Пример применения транзитивности при ее отсутствии: X={a,b,c};

 , , , следовательно,  .

Задания к практическим занятиям

1.  Для каких множеств отношение включения является частичным порядком?

2.  Привести пример отношения, являющегося одновременно частичным порядком и эквивалентностью.

3.  Сколько частичных порядков существует на множествах из 2,3,4 элементах?

4.  Имеются ли максимум и минимум по отношению включения?

5.  Доказать, что максимум по частичному порядку единственен.

6.  Могут  ли одновременно существовать максимумы и мажоранты, не являющиеся    максимумами, по отношению R?

7.  Доказать тождество X⁺(R) = X^-1(R^-1).

8.  Доказать тождество X^-(R) = X^-(R^-1).

9.  Доказать тождество X₊(R) = X_-(R^-1).

10.  Доказать тождество X_-(R) = X₊(R^-1).

11.  Доказать тождество X⁺(R)= X₊(R^d).

12.  Доказать тождество X^-(R) = X_-(R^d).

13.  Сколько существует различных функций выбора на A={x,y}?

14.  Сколько существует различных бинарных отношений на A={x,y}?

15.  Доказать,  что C ^R (X) ¹ Æ  для любого X Í A тогда и только тогда, когда  отношение R ациклично.

16.  Показать, что объединение функций выбора  является функцией выбора.

17.  Показать, что пересечение функций выбора является функцией выбора.

18.  Показать, что дополнение функций выбора является функцией выбора.

19.  Верна ли формула С₁С₂=С₂С₁?

7. Порядковые шкалы в задачах выбора.

Конспект

7.1. Функции полезности.

X – не более чем счетно.

 - отношение строгого предпочтения, ,

 - x «предпочтительнее» y.

~ - отношение безразличия, .

 - отношение нестрогого предпочтения, .

,  S – слабое упорядочение  

S – асимметрично:  и

S - отрицательно транзитивно: .

S – строгое упорядочение  

S – слабое упорядочение и

S – слабо связно:.

S – эквивалентность  

S – рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Теорема. Если  - слабое упорядочение на X,  - не более чем счетно, то

,

R – действительные числа.

S – строгое частичное упорядочение  

S – антирефлексивно:  и транзитивно.

Строгое частичное упорядочение  допускает соотношения , , , при этом отношение ~ не обязано быть транцитивным.

 - новое отношение (из безразличия х по сравнению с некоторым вытекает, что y также находится в отношении безразличия с z и наоборот):

,

 - транзитивно.

Теорема. Если  - слабое упорядочение на X,  - не более чем счетно, то

,

R – действительные числа.

Функция u(х) называется функцией полезности. Ясно, что такая функция не единственна: произвольное монотонное преобразование сохраняет ее упорядочивающее свойство.

Этот результат затем был обобщен на счетные и континуальные множества , на нестрогий порядок и на многокритериальный случай (для аддитивных функций). Определение функции u(х) позволяет перейти от языка бинарных отношений к критериальному языку, взяв u(х) в качестве критериальной функции.

Создается впечатление, что от качественных порядковых измерений можно перейти к количественным. На самом деле мы здесь вновь сталкиваемся с такой ситуацией, когда "оцифровка" порядковой шкалы не делает ее числовой шкалой. Для воспроизводства упорядочения фиксированного попарно упорядоченного множества X, конечно, можно воспользоваться числовой функцией u(х): однако стоит дополнить Х альтернативами, которые не рассматривались при первом упорядочении, как функцию u(х) потребуется определять заново. Более того, если два разных эксперта дадут разные упорядочения множества X, то можно доопределить функции полезности для каждого из них, но сравнивать их численно иначе как в отношении порядка не имеет смысла, хотя обе они определены на одном множестве.