Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Методы и алгоритмы принятия решений», страница 11

Динамические: методы вариационного исчисления.

·  Вариационная задача:

где  , , , , при ограничениях типа равенств:

,

и некоторых краевых условиях.

·  Простейшая задача вариационного исчисления, когда t и x одномерны, ограничения отсутствуют, а граничные условия закрепленные:

; x(t₀)=x₀, x(t₁)=x₁.

К этому типу относится задача о брахистохроне или о кривой наикротчайшего спуска.

Метод ломаных Эйлера.

Интервал [t₀,t₁] разбивается на N равных частей точками , , …, . Значения функции в этих точках обозначены x₀, x₁, …, x_N соответственно. Каждая совокупность точек , , …,  определяет некоторую ломаную. Ставится задача: среди всех возможных ломаных, соединяющих точки  и , найти ту, которая доставляет функционалу  экстремальное значение. Значение производной  на отрезке   будет . Функционал J(x) превращается в функцию конечного числа переменных x_i:  и задача свод90ится к задаче отыскания экстремума функции . Для того, чтобы ломаная Эйлера, реализующая экстремум этой функции, аппроксимировала решение задачи с высокой точностью, число N должно быть достаточно велико.

Метод Галеркина.

; x(t₀)=0, x(t₁)=0.

Пусть разыскивается решение в форме , где  некоторая система функций, удовлетворяющая условиям , i=1, …, N. Тогда функционал J(x) становится функцией коэффициентов , и задача сводится к отысканию экстремума этой функции N переменных. При некоторых условиях, наложенных на систему функций , решение задачи стремится при  к решению исходной задачи.

Метод вариаций.

Пусть тем или иным способом построена функция x(t). Будет ли эта функция решением вариационной задачи? Введем понятие вариации  функционала J для простейшей вариационной задачи

, где h(t) – произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условиям h(t₀)=h(t₁)=0. Условие  является необходимым, для того, чтобы функция x(t) реализовала экстремум функционала. Необходимым условием этого будет удовлетворение функцией  дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно функции x(t): .

Таким образом, для решения вариационной задачи надо решить краевую задачу  x(t₀)=x₀, x(t₁)=x₁ для приведенного уравнения. Получится конечное число решений. Каждую из полученных экстремалей далее необходимо подвергнуть дополнительному исследованию, чтобы определить, имеется ли среди них кривая дающая решения задачи.

·  Задачи оптимального управления.

при дифференциальной связи ,

и граничных условиях .

 - фазовый вектор,  - вектор управления, , , , .

Задачи, укладывающиеся в эту схему, имеют огромное прикладное значение. Пусть, например, уравнение описывает движение некоторого динамического объекта, например, космического корабля. Управление – вектор u – тяга его двигателя. Начальное положение – это некоторая орбита, конечное положение – это орбита другого  радиуса. Функционал J описывает расход горючего на выполнение маневра. Тогда задачу применительно к данной ситуации можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с одной орбиты на другую за фиксированное время так, чтобы расход топлива был минимальным. При этом необходимо учитывать ограничения на управления: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины и угол поворота тяги тоже ограничен.

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление u(t) должно доставлять при каждом t абсолютный максимум функции Гамильтона

, где  определяется системой уравнений .

Из этого условия находится управление  и подставляется в систему уравнений

, . В результате получается краевая задача для 2n дифференциальных уравнений с 2n граничными условиями. Решение последней задачи реализуется численными методами.

Задания к практическим занятиям

Найти решение задачи нелинейного программирования:

1.  Минимизировать  при ограничениях ;

2.  Минимизировать , ограничения отсутствуют.

3.  Минимизировать

Ограничения: