Выводы
Ранги и
позволяют определить класс квадрики: при
будет центральная квадрика, а при
или
- нецентральная.
Канонические уравнения центральной и нецентральных квадрик имеют вид:
1.
,
2.
3.
где
- ненулевые характеристические числа матрицы
,
где
- инвариант.
Применим вышеизложенный материал на примере:
Привести уравнение квадрики к каноническому виду, определить её вид.
Решение:
В наших обозначениях имеем
Ранги матриц определим методом окаймления.
В матрице возьмем первые три столбца и посчитаем определитель:
Получили квадрика центральная
каноническое уравнение имеет вид
где
Решим уравнение
Посчитаем
Запишем каноническое уравнение квадрики:
Это уравнение эллипсоида вращения с полуосями .
Задача решена.
1.6. Классификация квадрик в мерном евклидовом
пространстве
Определение: Невырожденной назовём квадрику, у которой отличен от нуля.
1.6.1. Классификация центральных квадрик
В
случае центральной квадрики () с уравнением
(22)
определитель
матрицы равен
(23)
В
этом случае определитель матрицы равен
(24)
Так как в случае центральной квадрики матрица имеет обратную, то в случае центральной квадрики определитель
всегда отличен от нуля. Поэтому в том случае, когда
центральная квадрика является невырожденной, т.е.
, коэффициент
В случае невырожденной центральной квадрики воспользуемся введённым ранее обозначением
(25)
Тогда в случае, когда числа имеют одинаковые знаки, противоположные знаку
, уравнение (22) можно переписать в виде (26)
(26)
Эта поверхность называется эллипсоидом (при
уравнение (26) является уравнением эллипса, при
— уравнением эллипсоида
3-х мерного пространства).
В случае, когда числа имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком
, уравнение (22) можно переписать в виде (27)
(27)
Данному уравнению не удовлетворяет ни одна
вещественная точка пространства, вследствие чего это уравнение по аналогии с
уравнением (26) называют уравнением мнимого эллипсоида (при уравнение (27) является уравнением мнимого эллипса, при
— уравнением мнимого эллипсоида 3-х мерного пространства).
В случае, когда числа при
имеют знаки, противоположные знаку
, а при
имеют знаки, совпадающие со знаком
, уравнение (22) можно переписать в виде (28)
(28)
Поверхность (28) называется гиперболоидом
индекса (при
и
уравнение (28) является уравнением гиперболы, при
и
— уравнением однополостного гиперболоида, при
и
— уравнением двуполостного гиперболоида).
Гиперболоид
индекса в
- мерном пространстве при
обладает плоскими образующими размерностей
, а при
— плоскими образующими размерностей
.
В случае вырожденной центральной квадрики () введем обозначения
(29)
Тогда в случае, когда числа имеют одинаковые знаки, уравнение (22) можно переписать в
виде (30)
(30)
Уравнению (30) удовлетворяет только одна точка —
начало
В случае, когда числа при
имеют один знак, а при
— другой знак, уравнение (22) можно переписать в виде (31)
(31)
Так как уравнение (31) однородно, то вместе с
точкой этому уравнению удовлетворяют все точки
при любом
, поверхность (31) называют конусом с вершиной в точке
; этот конус называется конусом индекса
, если
(случай, когда
, приводится к этому случаю умножением всех членов уравнения на
). Уравнение (30) по аналогии с уравнением (31) называют
уравнением мнимого конуса с вершиной в точке
.
1.6.2. Конусы
Конусы
(30) и (31) являются частными случаями конуса с вершиной в точке , определяемого матричным уравнением (32)
(32)
которому
также вместе с точкойудовлетворяют все точки
при любом
. Уравнение (32) приводится к виду (30) и (31) в том случае,
когда эта квадрика центральная, т. е.
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.