Основные инварианты,позволяющие однозначно определить вид и каноническую запись квадрики, страница 2

В уравнении (1) после приведения подобных содержится

  членов.

Например:

При оно содержит 3 члена, и имеет вид: .

При  оно содержит 6 членов и имеет вид:

.

При , 10 членов и имеет вид:  

При  – 66 членов.

При  – 5151 членов.

Таким образом, при достаточно больших , число членов уравнения  велико, исследование поверхности непосредственно по уравнению, написанному в произвольной системе координат представляет сложность. Поэтому необходимо рассмотреть приемы, позволяющие уравнение вида (1) привести к каноническому виду.

1.2. Преобразование декартовых прямоугольных координат в

1.2.1. Перенос начала координат

Пусть дана декартова система координат с началом в точке  и осями  . Рассмотрим новую систему координат с началом в точке  оси которой , соответственно параллельны осям  старой системы и имеют те же направления (длина единичных векторов не изменяется). Пусть начало второй системы  имеет координаты  относительно первой системы координат, а произвольная точка  пространства имеет координаты  относительно первой системы и  относительно второй системы, тогда

           (3)

или в матричном виде:

Непосредственным подсчетом найдем результат преобразования в матричном виде:

,

,

,

, где

                                                                             (4)

Введем матрицы  ,  ,

Матрица  получена добавление к матрице строки и столбца, а матрица     – матрица  преобразования (выражающая старые координаты через новые).

В силу (4) имеем 

Теорема 1. Определитель матрицы  и её ранг, а так же матрица  являются инвариантами относительно переноса начала координат, т. е.

Доказательство: т.к. , то

Так как при умножении на невырожденную матрицу ранг матрицы не изменяется, то получим  .

  (равенство 4).

Теорема доказана.

1.2.2. Поворот осей, без изменения ориентации системы

базисных векторов

Рассмотрим в пространстве  две декартовы системы координат. Вторая получена из первой путем поворота координатных осей. Пусть первая определяется началом  и базисом , а вторая определяется началом  и базисом . Пусть нам известны углы, которые образует каждая ось второй системы с каждой осью первой; обозначения этих углов зададим таблицей («):

Напишем разложение каждого вектора  по старому базису:

Так как каждый из векторов  является единичным, то для каждого из них коэффициентами разложения будут служить направляющие косинусы.

Определение 3.Матрица

называется матрицей перехода от базиса , к базису                 .  

В данном случае выполняется равенство:

              (6)

Обозначим через  произвольную точку пространства, через  – старые координаты этой точки, через   – её новые координаты. Имеет место векторное равенство:

         (7)

поскольку его левая и правая части представляют собой разложение одного и того же вектора (по разным базисам). Заменим в равенстве  (7) векторы  их выражениями по формулам (5), получим

или

  (8)

Так как коэффициенты разложения вектора по базису однозначно, то из  (8) следуют следующие равенства:

                 (9)

Определение 4: Матрица

называется матрицей преобразования координат. Она является транспонированной к матрице , причем тый столбец содержит координаты вектора  относительно базиса .

Замечание:  и ,   так как векторы  и векторы   образуют базисы, а это означает, что их система линейно не зависима.

Заменим в формулах (9) коэффициенты   согласно (6), то они примут вид:

               (10)

Формулы  (10) выражают старые координаты произвольной точки через её новые координаты.