Основные инварианты,позволяющие однозначно определить вид и каноническую запись квадрики, страница 15

1. Уравнение (1) содержит  и  только в четных степенях, поэтому если точка  принадлежит эллипсу, то ему принадлежат точки , , . (Это легко проверить. Если подставить данные координаты точек в уравнение (1), то будем получать верное равенство. Провести проверку, ученикам лучше самостоятельно. С целью повторения свойства четных степеней).

Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей  и , а также относительно точки , которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив , находим две точки  и , в которых ось  пересекает эллипс (см. рис.7). Положив , находим точки пересечения эллипса с осью :  и . Точки ,,, называются вершинами эллипса.  Отрезки  и , а также их длины  и  называют соответственно большой и малой осями эллипса. Числа  и  соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис.7.

3. Из уравнения (1) следует, что каждое слагаемое левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место равенства  и  или  и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми , .

4. Форма эллипса зависит от отношения. При   эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением  .

Определение: Отношение  половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой :

(2)

причем , так как .

Приведем формулу (2) к другому виду

т.е. 

   и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Определение:  Пусть  — произвольная точка эллипса с фокусами . Длины отрезков  и  называются фокальными радиусами точки . Очевидно, .

Определение: Прямые  называются директрисами эллипса. (Рис. 8.)

Рис. 8.

Теорема 1.  Если — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса,  — расстояние от этой точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение , есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Определение: Касательной к эллипсу называется прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку.

Теорема 2. Пусть — произвольная точка эллипса с фокусами . Тогда касательной к эллипсу, проходящей через точку , является прямая, содержащая биссектрису угла, смежного с углом .

Доказательство. Докажем, что прямая  содержащая биссектрису угла, смежного с углом , будет касательной к эллипсу (рис. 9). Обозначим .

Рассмотрим точку на прямой , для которой . Тогда прямая будет серединным перпендикуляром к отрезку .(Так как треугольник - равнобедренный, по построению, . Прямая - биссектриса угла , следовательно, для треугольника  она является медианой и высотой).

Для произвольной точки  прямой , отличной от , имеем:  и

Применим «неравенство треугольника» к треугольнику :

.

По построению .

Имеем, что

Рис.9.

А это означает, что точка  не принадлежит эллипсу, следовательно, прямая  имеет только одну общую точку  с эллипсом, то есть является касательной.

Фокальное свойство:

Если источник света поместить в один из фокусов эллипса, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся в другом его фокусе.

Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения, и тем, что от кривой свет отражается так же, как от касательной, проведенной в точку падения.

2.2.3. Лабораторная работа

«Различные способы получения эллипса»

Необходимые инструменты: Бумага, ножницы, циркуль, линейка, карандаш, картон,  сковорода, прямоугольник.

Способ 1.

 Получения эллипса из листа бумаги.

Вырежем из бумаги большой круг и в любом его месте, отличном от центра, поставим точку F.

Рис.10.

Сложим круг так, чтобы эта точка совместилась с какой-нибудь точкой F' окружности круга и на бумаге образовалась линия сгиба (рис. 10). Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FF' и, следовательно, касательной к эллипсу. Разогнем круг и снова согнем его, совместив точку Fс другой точкой окружности круга. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к эллипсу. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму эллипса.