Основные инварианты,позволяющие однозначно определить вид и каноническую запись квадрики, страница 18

3.  Из уравнения (3) следует, что уменьшаемое   не меньше                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    единицы, т. е. что  или . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой  (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой   (левая ветвь гиперболы).

4. Из уравнения (3) гиперболы видно, что когда возрастает, то и  возрастает. Это следует из того, что разность сохраняет постоянное значение, равное единице.

Из сказанного следует, что гипербола имеет форму, изображенную на рисунке 16 (кривая, состоящая из двух неограниченных ветвей).

Рис. 16. Гипербола

Определение: Прямая называется асимптотой неограниченной кривой , если расстояние  от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки вдоль кривой от начала координат.

Гипербола  имеет две асимптоты:

.  (Рис. 17)

Рис.17. Гипербола с ассимпотами

При построении гиперболы целесообразно сначала построить основной прямоугольник гиперболы (см. рис. 18), провести прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, — асимптоты гиперболы и отметить вершины и гиперболы.

Рис. 18.

Определение: Гипербола  называется равносторонней, если ее полуоси равны (). Ее каноническое уравнение

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения и  и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов.

( Рис. 19).

Рис. 19. Равносторонняя гипербола.

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси  и  являются асимптотами, будет иметь знакомый нам вид .

2.3.3. Дополнительные сведения о гиперболе

Определение:  Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обозначается :

.

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы.

Действительно, из равенства  следует, что , т. е.   и .

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,  

Фокальные радиусыдля точек правой ветви гиперболы имеют вид  и , а для левой  и .

Определение: Прямые  называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы , то . Это значит, что правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса.                                        Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось  которой  расположена на оси , а мнимая ось  — на оси . На рисунке 20 она изображена пунктиром.

Гиперболы  и   имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Рис. 20.

2.3.3.1. Касательные к гиперболе

Рассмотрим ветвь гиперболы, точки которой удовлетворяют равенству

. Она разбивает плоскость на две области — внешнюю, для точек  которой выполняется неравенство, и внутреннюю, для точек которой выполняется неравенство

.

Определение: Прямая, проходящая через точку гиперболы, называется касательной кгиперболе, если остальные точки этой прямой лежат во внешней области, то есть удовлетворяют неравенству. Точка называется точкой касания.

Аналогичным образом определяется касательная для точки, лежащей на другой ветви гиперболы.