Фокальное свойство параболы:
Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.
Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения, и тем, что от кривой свет отражается так же, как от касательной, проведенной в точку падения.
Рис.32.
Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.
2.4.2. Лабораторная работа
«Различные способы получения параболы»
Необходимые инструменты: Миллиметровая бумага, ножницы, циркуль, линейка, карандаш, прямоугольник, нить, треугольник и кнопки.
1 способ.
Рассмотрим способ получения параболы из листа бумаги.
Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большей стороны
точку . Сложим лист так, чтобы точка
совместилась с какой-нибудь точкой
на большей стороне и на бумаге образовалась
линия сгиба
(рис. 33). Линия сгиба будет
серединным перпендикуляром к отрезку и, следовательно,
касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку
с другой точкой большей стороны.
Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии
сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет
иметь форму параболы (рис.33).
Рис.33.
2 способ.
Подготовьте набор принадлежностей для построения параболы. Для заданных фокуса и директрисы постройте соответствующую им параболу.
(С помощью нити, карандаша, треугольника и кнопок).
3 способ.
Из уравнения параболы находим величину параметра , выбираем произвольно положение фокуса
и на расстоянии
от
проводим директрису
, а затем прямую,
проходящую через
,
перпендикулярную директрисе и пересекающую ее в точке
(рис. 34).
Далее строим прямоугольную декартову систему координат Оху с началом в середине отрезка JF, причем ось абсцисс определяем прямой, проходящей через точки Jи F, а ось ординат проводим так, чтобы получить обычную декартову систему координат.
Проведем прямую с той же стороны по отношению к директрисе
, где находится начало
координат, причем так, чтобы прямая
была параллельна директрисе
и находилась от нее на расстоянии
.
Начертив окружность с центром в Fи радиусом , получаем в пересечении
этой окружности с прямой
две точки рассматриваемой параболы.
Изменяя величину , можно указанным способом построить ряд точек
данной параболы, а затем, используя полученные точки, построить искомый график
параболы.
Рис. 34.
2.4.3. Задачи на закрепление материала.
1. Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажите соответствующую точку на параболе.
2. Что будет происходить с параболой, если фокус: а) приближается к директрисе; б) удаляется от директрисы?
а) фокус приближается к директрисе;
Если
фокус будет приближаться к директрисе, следовательно, будет
убывать. Так как
– уравнение параболы,
следовательно, коэффициент перед
, будет возрастать,
тогда получим, что если фокус будет приближаться к директрисе, то вершина
параболы будет двигаться вниз, а ветви параболы будут сжиматься.
б) фокус удаляется от директрисы;
Если фокус будет удаляться от директрисы, следовательно, будет возрастать. Так как
– уравнение параболы, следовательно, коэффициент
перед
, будет убывать, тогда получим, что если
фокус будет приближаться к директрисе, то вершина параболы будет двигаться
вверх, а ветви параболы будут расширяться.
3.
Вершина
параболы находиться в точке , а её ось параллельна
оси
. Зная, что на оси
парабола
высекает хорду
, длина которой равна 6, написать
уравнение параболы.
2.4.4. Методические рекомендации к главе
Материал дан в избытке. Сведения, связанные с касательными можно дать не в полном объеме. (Рассмотреть только определение). Фокальные свойство можно только сформулировать, а их доказательство провести на уроках закрепления знаний в качестве задач.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.