Теплофизика. Часть 1 «Основы термодинамики»: Учебное пособие, страница 25

Обычно такое состояние называют с о с т о я н и е м    статистического    р а в н о в е с и я.              

При этих условиях в соответствии с теорией вероятности                                        

=                                               (14.6)                                                                       

где   и   - число частиц со скоростями    и   до  столкновения друг  с другом;   и     - число частиц со скоростями  и  после столкновения. Если в качестве  аргумента функции  распределения взять квадрат скорости, то выражение (14.6) получит вид

=                                             (14.7)

K процессу столкновения этих частиц применим закон сохранения энергии. В этом случае.                           

      +=+                                                                    (14.8)

С учетом выражений (14.7) и (14.8) имеем   

=                                                                                          

После дифференцирования по  и  получим                                                                     

=                                                          (14.9)

Скорости   и  были выбраны произвольно, в связи, с чем можно сделать выводы о постоянстве выражения (14.9), т. е.                                                                                   

= - (14.10)                                                                                                               

или после интегрирования                                                                              

= (14.11)

Постоянную интегрирования А можно найти с помощью выражений (14.1) н (14.11), записанных вдоль одной из координатных осей, например х:                                                              

n =

Так как                                                                                                        

=

то A=. Если при том учесть три степени свободы, то                                                    

                                        A=(14.12)

Значение  можно  найти,   если  применить уравнение,   определяющее   давление    газа   на стенки  сосуда,  в   который  он   заключен.  Так как  pV=NkT,  то p=nkT ,   где   n=N/V .   С другой  стороны,  давление   р    можно  подсчитать в   виде   интеграла  произведения   числа  частиц ударяющихся  о  стенку,  на   значение  импульса, передаваемого  при   этих  столкновениях   в  единицу времени:                                                                                 

 p=                                            

Рис. 14.1. Изменение  максвеловской функции распределения  по  скоростям  при различных  температурах (Т₁  < Т₂  )                                                                    

=(14.13)

С учетом полученных выражений равновесная максвелловская функция распределения частиц по скоростям принимает вид                                                                     

=                                   (14.14)

График (рис. 14.1) показывает, что при некоторых значениях скорости  и  функции распределения частиц по скоростям при разных температурах имеют свои максимумы. Эта скорость называется наивероятнейшей, так как частицы со скоростью, близкой к   чаще всего встречаются в массе частиц. При этом следует заметить, что число частиц с очень большими и очень малыми скоростями оказывается сравнительно небольшим, но они тем не менее всегда имеются в любой системе. Для определения наивероятнейшей скорости    необходимо приравнять нулю производную  от  , т.е.                                                                                                                                                                                                                                                                      

==0

откуда