Теорема об общем решении
однородного линейного уравнения: Пусть – ФСР уравнения
.
Тогда
– общее решение этого уравнения. Здесь
– произвольные постоянные.
Система
решений уравнения
порядка
n линейно зависима.
Множество
решений линейного уравнения образует линейное
пространство размерности n, причём ФСР – базис в этом пространстве.
Однородное линейное уравнение можно решить, построив ФСР. В общем случае уравнений с переменными коэффициентами общего метода построения ФСР нет. Возможно понижение порядка, если известно хотя бы одно нетривиальное решение уравнения. На этом пути в простейших случаях удаётся получить ФСР.
Уравнения с постоянными коэффициентами решаются всегда. ФСР однородного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно решить методом Эйлера.
§ 2.4 Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим уравнение , предполагая, что
постоянны.
Найдём ФСР. Воспользуемся для этого подстановкой Эйлера: будем искать решения
уравнения в виде
, где k
– постоянная. Подставляем
в уравнение
.
Это
уравнение называется характеристическим уравнением уравнения .
Это алгебраическое уравнение степени n с вещественными коэффициентами. По основной теореме алгебры такое уравнение всегда имеет ровно n корней в комплексных числах с учётом их кратности.
1. Характеристическое
уравнение имеет простые вещественные корни: при
. По формуле
получаем
решения:
. Таких решений n
и они линейно независимы, т.к.
(определитель
Вандермонда)
, следовательно,
образуют ФСР. Таким образом, общее решение
–
.
2. Характеристическое
уравнение имеет простые корни, среди которых есть комплексные: . Выбираем произвольно корень уравнения
. Если он вещественный, то по формуле
получаем вещественное решение, иначе –
. Т.к. характеристическое уравнение имеет
вещественные коэффициенты, то
. Этим двум корням по
формуле
ставим в соответствие комплексное решение:
. Выбираем
(в
последнем случае знак – произвольно). Таким образом, каждому корню
характеристического уравнения сопоставляется вещественное решение уравнения
. Таких решений n.
Можно показать, что они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР,
откуда можно получить общее решение уравнения.
3. Характеристическое
уравнение имеет корни соответственной кратности
. Заметим, что
для
. Будем сопоставлять каждому корню
решений уравнения
.
Выбираем произвольно корень
. Если
, этот корень простой, следовательно, по
формуле
ему ставится в соответствие решение
(комплексное либо вещественное). Если
кратны, т.е.
, то эта
формула позволяет получить только одно решение, следовательно, имеются
недостающие решения. Однако легко показать, что решениями являются также
функции
. В целом получается
решений, следовательно всего уравнению
сопоставляют
решений.
Если корень
вещественный, то все приведённые решения
вещественны. Если
– комплексный, то найдётся ещё
один корень
. Соответственно этим двум корням можно
сопоставить вещественное решение
. В результате
получается n решений. Можно показать, что они
линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, откуда получается общее
решение.
Некоторые
уравнения, изначально с переменными коэффициентами, приводятся к уравнениям с
постоянными коэффициентами с помощью замены переменных, в том числе уравнение
Эйлера: (
– постоянные). Это уравнение
приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой
. Отсюда следует, что уравнение Эйлера
можно решать и непосредственно, не приводя его к уравнению с постоянными
коэффициентами с помощью степенной подстановки Эйлера:
.
§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля
Пусть известно, что – ФСР некоторого уравнения (однородного,
линейного) порядка n. Можно ли восстановить
уравнение по ФСР?
Пусть – любое
решение искомого уравнения. Тогда
– линейно зависимы,
следовательно,
. Разложим определитель по
последнему столбцу:
, где
(правило
дифференцирования определителя: производная определителя представляется суммой
определителей, получающихся из исходного дифференцированием элементов одной
строки:
). Следовательно,
–
решение уравнения
.
Можно показать, что уравнение восстанавливается однозначно по ФСР, если
выбирать коэффициент при старшей производной равным 1.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.