Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 12

Если хотя бы в одной точке , то функции линейно независимы.

Теорема о линейно независимых решениях: Пусть  – решения уравнения . Тогда  тогда и только тогда, когда  линейно зависимы.

Система линейно независимых решений  называется фундаментально системой решений (ФСР) этого уравнения. ФСР существует, т.к. решения , обладающие свойством линейной независимости можно построить так: . При этом .

Теорема об общем решении однородного линейного уравнения: Пусть  – ФСР уравнения . Тогда  – общее решение этого уравнения. Здесь  – произвольные постоянные.

Система решений  уравнения  порядка n линейно зависима.

Множество решений линейного уравнения  образует линейное пространство размерности n, причём ФСР – базис в этом пространстве.

Однородное линейное уравнение можно решить, построив ФСР. В общем случае уравнений с переменными коэффициентами общего метода построения ФСР нет. Возможно понижение порядка, если известно хотя бы одно нетривиальное решение уравнения. На этом пути в простейших случаях удаётся получить ФСР.

Уравнения с постоянными коэффициентами решаются всегда. ФСР однородного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можно решить методом Эйлера.

§ 2.4  Решение однородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение , предполагая, что  постоянны. Найдём ФСР. Воспользуемся для этого подстановкой Эйлера: будем искать решения уравнения в виде , где k – постоянная. Подставляем  в уравнение .

Это уравнение называется характеристическим уравнением уравнения .

Это алгебраическое уравнение степени n с вещественными коэффициентами. По основной теореме алгебры такое уравнение всегда имеет ровно n корней в комплексных числах с учётом их кратности.

3.  Характеристическое уравнение имеет простые вещественные корни:  при . По формуле  получаем решения: . Таких решений n и они линейно независимы, т.к.  (определитель Вандермонда) , следовательно,  образуют ФСР. Таким образом, общее решение – .

4.  Характеристическое уравнение имеет простые корни, среди которых есть комплексные: . Выбираем произвольно корень уравнения . Если он вещественный, то по формуле  получаем вещественное решение, иначе – . Т.к. характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты, то . Этим двум корням по формуле  ставим в соответствие комплексное решение: . Выбираем  (в последнем случае знак – произвольно). Таким образом, каждому корню характеристического уравнения сопоставляется вещественное решение уравнения . Таких решений n. Можно показать, что они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, откуда можно получить общее решение уравнения.

4.  Характеристическое уравнение имеет корни  соответственной кратности . Заметим, что  для . Будем сопоставлять каждому корню  решений уравнения . Выбираем произвольно корень . Если , этот корень простой, следовательно, по формуле  ему ставится в соответствие решение  (комплексное либо вещественное). Если  кратны, т.е. , то эта формула позволяет получить только одно решение, следовательно, имеются недостающие решения. Однако легко показать, что решениями являются также функции . В целом получается  решений, следовательно всего уравнению  сопоставляют  решений. Если корень  вещественный, то все приведённые решения вещественны. Если  – комплексный, то найдётся ещё один корень . Соответственно этим двум корням можно сопоставить вещественное решение . В результате получается n решений. Можно показать, что они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, откуда получается общее решение.

Некоторые уравнения, изначально с переменными коэффициентами, приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами с помощью замены переменных, в том числе уравнение Эйлера:  ( – постоянные). Это уравнение приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой . Отсюда следует, что уравнение Эйлера можно решать и непосредственно, не приводя его к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью степенной подстановки Эйлера: .

§2.5 Формула Остроградского-Лиувилля