Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка

Дифференциальные уравнения

Глава 0. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Под дифференциальным уравнением понимается соотношение типа равенства, содержащее подлежащую определению функцию и производные этой функции до некоторого порядка. Максимальный порядок производной, содержащейся в уравнении, называется порядком уравнения.

В случае одной независимой переменной дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).

В случае нескольких независимых переменных уравнение называется уравнением с частными производными (УЧП).

Функция, которая при подстановке в уравнение обращает уравнение в тождество, называют решением уравнения.

В общем случае решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, т.е. дифференциальное уравнение сопоставляет множество решений. Могут быть исключения, например уравнение  имеет одно вещественное решение: .

Решить дифференциальное уравнение значит найти (описать) все решения этого уравнения. Обычно при решении дифференциального уравнения ставят целью получение общего решения. Так, для уравнения  – общее решение. Здесь C – произвольная постоянная. Других решений этого уравнения нет. Однако, такое возможно не всегда. Так, уравнение  имеет общее решение . Однако существует ещё одно решение . Его не удаётся включить в общее решение. Такие решения называются особыми.

Основное внимание в этом курсе уделяется обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ). В общем случае ОДУ представляется в виде  – ОДУ n-го порядка. Решение таких уравнений понимается в классическом смысле: непрерывно дифференцируемая функция до порядка n, при подстановке обращающая уравнение в тождество. Геометрически решению  на плоскости xy соответствует линия, называемая интегральной.

Обычно при решении прикладных задач уравнение рассматривается вместе с некоторыми дополнительными условиями. В этом случае говорят, что рассматривается задача. Простейшие дополнительные условия: условия Коши (начальные), которые задают задачу Коши; и краевые условия, дающие краевую задачу.

Примеры:  – задача Коши,  – краевая задача.

Глава 1. Уравнения первого порядка.

§ 1.1 Уравнения, разрешённые относительно производных; их геометрическая интерпретация.

Рассмотрим уравнение 1-го порядка вида , предполагая, что функция  определена в некоторой области . Область D – область определения уравнения. Чаще всего  предполагается непрерывной в D. Решением  называется функция , непрерывная и непрерывно дифференцируемая, для которой  и . Здесь x пробегает некоторое множество. Если рассматривается , то говорят, что  – решение уравнения  на .

Общим решением уравнения  в области D называется функция , удовлетворяющая условиям:

1.  Для любой точки  уравнение  однозначно определяет .

2.  Функция  является решением уравнения .

Решение уравнения , получающееся из общего решения при конкретном задании постоянной C называется частным решением уравнения.

Решение, не являющееся частным решением, называется особым решением.

Геометрически решению уравнения  отвечает интегральная линия на плоскости xy (график функции ), а общему решению – семейство интегральных линий. Заметим, что через любую точку в области  проходит единственная интегральная линия из этого семейства.

Для уравнения  можно поставить дополнительные условия: найти интегральную линию, проходящую через дополнительную точку . Получается начальное условие: . Имеем задачу Коши. Решить задачу Коши значит среди всех интегральных линий уравнения найти ту, которая проходит через данную точку .

Уравнение  в области D задаёт векторное поле (поле касательных направлений).

Геометрически решить уравнение  – это провести линии в области D так, чтобы в каждой точке такой линии касательная определялась векторным полем.

Изоклина – геометрическое место точек, в каждой точке которых векторы равны.

В дальнейшем будем считать, что переменные x и y в уравнении  равноправны. В случае, когда  установится неограниченным, можно рассматривать уравнение . Будем также записывать уравнение в виде , где  в D.

Часто не удаётся получить решение уравнения  в явном виде. Если решение удаётся получить в неявном виде – , – то такое конечное уравнение называется интегралом уравнения . Если в неявном виде получается общее решение уравнения , то имеем общий интеграл уравнения .

§ 1.2 Уравнение с разделяющимися переменными.

Рассмотрим уравнение  в предположении, что  определена на  определена на . Такое уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными.

Пусть  непрерывна на  непрерывна на  на . Тогда через любую точку прямоугольника  проходит единственная интегральная линия уравнения .

Условие  в теореме является условием единственности.

Условие  является слишком ограничительным. Например, уравнение  этому условию не удовлетворяет на , т.к.  при .

Условие единственности  можно заменить более общим: единственность сохраняется, если  расходится (здесь ). При сходимости этого интеграла единственности может не быть.

Уравнение  при непрерывной функции  на  при любых начальных значениях  имеет единственное решение.