Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 20

Через любую точку области D проходит единственная характеристика (система автономна). Точек покоя эта система не имеет. В этом случае всякая точка области D является регулярной.

Для того, чтобы описать все первые интегралы системы , необходимо получить полный набор функционально независимых первых интегралов . Отметим, что  функционально независимы, если ранг матрицы . Для системы , состоящей из n уравнений, полный набор состоит из n функционалов вида . Если рассматриваются первые интегралы вида , то полный набор состоит из  первого интеграла. В общем случае для наперёд заданной области D полный набор первых интегралов может и не существовать. Однако справедливо следующее утверждение: для любой нерегулярной точки найдется окрестность, в которой существует полный набор функционально независимых первых интегралов. Пусть D – такая окрестность, в котором существует полный набор первых интегралов. Следовательно, имеем первые интегралы , следовательно, для любого первого интеграла  справедливо представление: , где F – некоторая функции, следовательно, любое решение уравнения  представляется в виде . Эта формула задаёт общее решение уравнения при произвольной дифференцируемой функции F.

Характеристическую систему  удобно представлять в форме: .

§6.3. Решение квазилинейных уравнений

Рассмотрим уравнение  в предположении, что  и  определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём  в D. Сопоставим этому уравнению вспомогательное линейное уравнение . Здесь . Это уравнение уже рассмотрено в предыдущем параграфе, следовательно, можно написать его общее решение. Оно получается в неявном виде: .

Составим характеристическую систему для этого уравнения: . Пусть  – функционально независимые первые интегралы этой системы. Тогда  – общее решение уравнения.

Пусть  – решение уравнения  и пусть уравнение  определяет некоторую функцию  в  (пространстве x), причём . Тогда  – решение первого уравнения.

Приведённая теорема устанавливает связь между решениями уравнений  и . Решения первого уравнения могут использоваться для неявного задания решений уравнения второго уравнения. Если  – решение первого уравнения, то конечное уравнение  определяет решение второго уравнения. Множество решений первого уравнения представляется функцией , следовательно, множество решений второго уравнения можно описать решениями уравнения , где F – произвольная функция. Следует иметь в виду, что функция F должна обеспечить возможность разрешения такого уравнения (см. теорему о неявной функции). На даже в этом случае мы не можем утверждать, что таким образом описываются все решения уравнения . Это уравнение может иметь т.н. специальные решения, не допускающие такого представления.

Характеристическая система, записанная для вспомогательного уравнения  называется характеристической системой исходного уравнения. Через каждую точку в области проходит единственная характеристика уравнения . В отличие от предыдущего параграфа, характеристики здесь являются линиями в пространстве переменных . Можно показать, что если через какую-либо точку интегральной поверхности проходит характеристика, то вся эта характеристика лежит на интегральной поверхности. Интегральная поверхность как бы «соткана» из характеристик.

§6.4. Решение задачи Коши для квазилинейных уравнений

Рассмотрим уравнение , предполагая, что  и  определены в области , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D и  в D. Можно осуществить выбор решения этого уравнения, подчинив его каким-либо дополнительным условиям. В простейшем случае такими условиями могут быть условия Коши. Рассмотрим постановку задачи Коши. Пусть в пространстве x задана гиперповерхность S:  и пусть в точке этой гиперповерхности определена функция . Дополним уравнение условием: . Имеем задачу Коши. Решить её значит найти решение уравнения , которое в точке гиперповерхности S совпадает с заданной функцией . Нас интересует интегральная поверхность этого уравнения, содержащая гиперповерхность S относительно функции .