Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 17

Можно предложить ещё один способ решения систем уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет решать и неоднородные системы : делаем замену , где C – невырожденная постоянная матрица. . Выбираем C таким, что  – наиболее простая матрица, например, диагональная.

Решения неоднородных линейных систем. Метод вариации постоянных. Матрица Коши.

Рассмотрим неоднородную систему .

Пусть  – фундаментальные системы решений, соответствующие системе  – частное решение системы . Тогда  – общие решения системы , где  – произвольное постоянные.

Общее решение неоднородной системы  представляется суммой частного решения и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Решить неоднородную систему  можно, если подобрать какое-либо частное решение этой системы и решить соответствующую однородную систему. Если частное решение подобрать не удаётся, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Пусть уже построена ФСР соответствующей однородной системы. Тогда её общее решение имеет вид . Полагая , будем искать решения системы в виде : , т.к. . Введём матрицу  составив её из всех столбцов . Тогда уравнение запишется в виде . Заметим, что  при , следовательно, . Интегрируя, получаем: , где . Заметим, что формула   приводится к виду , где  – матрица Коши. Здесь  – общее решение соответствующей однородной системы, а  – частное решение неоднородной системы.

. При фиксированном s матрицу Коши можно понимать как матричное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Глава 5. Устойчивость решений дифференциальных уравнений

§5.1 Понятие устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Точки покоя.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений  порядка . Предполагается, что  определена при  и  и что выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Будем полагать, что система  имеет решение  определённое при .

Решение  называется устойчивым (по Ляпунову), если для  при  для любого решения , в начальный момент  удовлетворяющего условию .

Решение  называется притягивающим при , если  для любого решения .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и является притягивающим.

Решение , которое не является устойчивым, будем называть неустойчивыми.

Обычно исследование на устойчивость произвольного решения  сводят к исследованию на устойчивость тривиального решения. В противном случае можно сделать замену  в уравнении . Решению  соответствует  . Т.к. , то , где  . Заметим, что .

Исследуем на устойчивость  в фазовом пространстве системы . Всякому постоянному решению отвечает точка. Такие точки мы будем называть точками покоя системы .

Все предыдущие определения легко переносятся в фазовые пространства. В этом случае можно говорить об устойчивых точках покоя, асимптотически устойчивых точках покоя, неустойчивых точках покоя. Если надо исследовать при , то можно сделать замену .

§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости

Будем рассматривать систему  в векторной форме:  . Точки покоя этой системы можно найти, решая систему . Если , то эта система имеет единственное решение , иначе система имеет бесконечное множество решений. Ограничимся случаем .

1.  Пусть  и  – собственные числа,  и  – соответствующие им собственные векторы. Общее решение системы представляется в виде .

а)   точка покоя  асимптотически устойчива. Называется устойчивым узлом.

б)  . Фазовый портрет подобен предыдущему, но направление движения противоположно. Точка покоя  неустойчива и называется неустойчивым узлом.

в)   (второй рисунок). Точка покоя  является неустойчивой и называется седлом.

2.  Пусть A имеет комплексные собственные числа: ,  и  –  соответствующие им собственные векторы. Тогда общее решение будет записываться в виде: . Удобнее записать его несколько иначе:  (здесь  – линейная комбинация  и ).

a)   Точка покоя  устойчива. Асимптотической устойчивости нет. Точка покоя называется центром.

б)   В первом случае  точка покоя  называется устойчивым фокусом. Она асимптотически устойчива. Во втором случае   точка покоя  называется неустойчивым фокусом.