Математика \ Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 23

4. Пусть уравнение имеет простые вещественные корни . Тогда матрица A имеет простые собственные значения . Каждому сопоставляем собственный вектор . Имеем собственные векторы . Они линейно независимы. По формуле получаем решение системы . Эти решения линейно независимы (т.к. определитель Вронского отличен от 0), их n, следовательно, они образуют ФСР. Общее решение системы .

5. Корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные. Пусть – корни уравнения . Они являются собственными значениями матрицы A. Пусть – какой-либо корень. Если он вещественный, то по формуле получаем решение: . Пусть теперь – комплексный корень, . Тогда в силу вещественности матрицы A существует ещё один корень . Этим комплексным значениям соответствуют комплексные собственные векторы и , причём , следовательно, корням и сопоставляется комплексные решения и . При этом , . Выбираем . В итоге двум комплексным корням поставлены в соответствие два вещественных решения. Разбираясь таким образом с каждым корнем уравнения , получаем n решений. Эти решения линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, следовательно, можно записать общее решение системы .

6. Пусть уравнение имеет корни , соответственно, кратности . Имеем . Если , то все корни простые. Этот случай уже рассмотрен. Пусть, тогда существует хотя бы один корень кратности . По-прежнему сопоставляем каждому корню решения системы , число которых равно кратности корня. Поскольку – кратный корень, ему можно сопоставить по формуле в общем случае несколько решений , где – линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению . Если , недостающие решения можно искать в виде , где – неопределённые постоянные векторные коэффициенты (удобнее взять ). Выбирая , достраиваем недостающие решения до . Поступая таким образом с каждым кратным корнем, получаем n решений системы . В общем случае эти решения комплексные. Выделяя вещественные и мнимые части у построенных решений (как в пункте 2), получаем n вещественных решений системы . Они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР. Получаем общее решение системы . Отметим, что можно ограничиться и выбором комплексной ФСР. В этом случае при записи общего решения системы произвольные постоянные также должны быть комплексными.

Можно предложить ещё один способ решения систем уравнений с постоянными коэффициентами. Он позволяет решать и неоднородные системы : делаем замену , где C – невырожденная постоянная матрица. . Выбираем C таким, что – наиболее простая матрица, например, диагональная.

Решения неоднородных линейных систем. Метод вариации постоянных. Матрица Коши.

Рассмотрим неоднородную систему .

Пусть – фундаментальные системы решений, соответствующие системе – частное решение системы . Тогда – общие решения системы , где – произвольное постоянные.

Общее решение неоднородной системы представляется суммой частного решения и общего решения соответствующей неоднородной системы.

Решить неоднородную систему можно, если подобрать какое-либо частное решение этой системы и решить соответствующую однородную систему. Если частное решение подобрать не удаётся, можно воспользоваться методом вариации произвольных постоянных.

Пусть уже построена ФСР соответствующей однородной системы. Тогда её общее решение имеет вид . Полагая , будем искать решения системы в виде : , т.к. . Введём матрицу составив её из всех столбцов . Тогда уравнение запишется в виде . Заметим, что при , следовательно, . Интегрируя, получаем: , где . Заметим, что формула приводится к виду , где – матрица Коши. Здесь – общее решение соответствующей однородной системы, а – частное решение неоднородной системы.