Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 16

Общие свойства линейных систем:

1.  Если  – решение системы , то  – тоже решение этой системы при любом постоянном С.

2.  Если  и  – решения системы , то  – тоже решение этой системы.

3.  (Принцип суперпозиции) Пусть  и пусть  – решение системы . Тогда  – решение системы .

4.  Пусть  – решения системы . Тогда  – решения этой же системы при любых постоянных .

5.  Пусть  – любое частное решение системы  – решение системы . Тогда  – решение системы .

Пусть система имеет комплексное решение . Тогда функции  и  будут вещественными решениями этой системы.

§4.3 Решение однородных линейных систем

Пусть рассматривается система векторных функций . Эта система называется линейно независимой, если  тогда и только тогда, когда , иначе система называется линейно зависимой.

1.  Если  – линейно зависимые решения системы, то определитель Вронского .

2.  Если  линейно независимые решения системы , то .

Система линейно независимых решений системы  порядка n называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Функции ФСР получаются при решении задачи Коши.

Пусть  – ФСР системы . Тогда  – общее решение. Здесь  – любые постоянные.

Чтобы получить общее решение системы достаточно построить ФСР этой системы. В общем случае переменных коэффициентов общего метода построения ФСР в элементарных функциях нет. В случае постоянных коэффициентов ФСР системы можно получить всегда.

§4.1. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему уравнений , где . Будем искать решение в виде . Подставляем ,  – собственный вектор, а l –  собственное значение матрицы A. Собственные значения – корни характеристического (векового) уравнения . Это алгебраическое уравнение относительно l степени n.

1.  Пусть уравнение  имеет простые вещественные корни . Тогда матрица A имеет простые собственные значения . Каждому  сопоставляем собственный вектор . Имеем собственные векторы . Они линейно независимы. По формуле  получаем решение системы . Эти решения линейно независимы (т.к. определитель Вронского отличен от 0), их n, следовательно, они образуют ФСР. Общее решение системы .

2.  Корни характеристического уравнения  простые, но среди них есть комплексные. Пусть  – корни уравнения . Они являются собственными значениями матрицы A. Пусть  – какой-либо корень. Если он вещественный, то по формуле  получаем решение: . Пусть теперь  – комплексный корень, . Тогда в силу вещественности матрицы A существует ещё один корень . Этим комплексным значениям соответствуют комплексные собственные векторы  и , причём , следовательно, корням  и  сопоставляется комплексные решения  и . При этом , . Выбираем . В итоге двум комплексным корням поставлены в соответствие два вещественных решения. Разбираясь таким образом с каждым корнем уравнения , получаем n решений. Эти решения линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР, следовательно, можно записать общее решение системы .

3.  Пусть уравнение  имеет корни , соответственно, кратности . Имеем . Если , то все корни простые. Этот случай уже рассмотрен. Пусть, тогда существует хотя бы один корень  кратности . По-прежнему сопоставляем каждому корню решения системы , число которых равно кратности корня. Поскольку  – кратный корень, ему можно сопоставить по формуле  в общем случае несколько решений , где  – линейно независимые собственные векторы, соответствующие собственному значению . Если , недостающие решения можно искать в виде , где  – неопределённые постоянные векторные коэффициенты (удобнее взять ). Выбирая , достраиваем недостающие решения до . Поступая таким образом с каждым кратным корнем, получаем n решений системы . В общем случае эти решения комплексные. Выделяя вещественные и мнимые части у построенных решений (как в пункте 2), получаем n вещественных решений системы . Они линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР. Получаем общее решение системы . Отметим, что можно ограничиться и выбором комплексной ФСР. В этом случае при записи общего решения системы произвольные постоянные также должны быть комплексными.