Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 19

Пусть система  определена при  и эта система имеет точку покоя . Заметим, что в этом случае . Будем говорить, что функция , определённая в D, положительно определена, если  и  при . Пример: .

Первая теорема Ляпунова: Пусть существует непрерывная и непрерывно  дифференцируемая в D функция , являющаяся положительно определённой, причём . Тогда точка покоя  устойчива.

Заметим, что последнее условие означает невозрастание функции  на траекториях системы. Действительно, если V рассматривается при , где  – решение системы , то . В этом случае говорят, что функция  не возрастает в силу системы .

Функция , обладающая свойствами, отмеченными в первой теореме Ляпунова называется функцией Ляпунова I-го рода.

Это значит, что точка покоя  устойчива, если существует функция Ляпунова I-го рода.

Вторая теорема Ляпунова: Пусть существует непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция , причём , где  положительно определена в D. Тогда точка покоя  асимптотически устойчива.

Отметим, что выполнение последнего условия автоматически обеспечивает выполнение второго условия первой теоремы Ляпунова. Условие  означает, что  строго убывает.

Функция , обладающая свойствами, отмеченными во второй теореме Ляпунова называется функцией Ляпунова II-го рода.

Общих рекомендаций, позволяющих построить функцию Ляпунова II-го рода, нет.

Часто функция Ляпунова имеет прямое отношение к законам сохранения, например, функцией Ляпунова может оказаться функция энергии.

Вторая теорема допускает прямое обращение: если второе условие заменить противоположным: , то получится теорема Ляпунова о неустойчивости точки покоя . Однако теорема Ляпунова о неустойчивости получается при слишком жёстких условиях. Так, сколь угодно малую окрестность точки покоя  должна покидать любая траектория системы, в то время как для доказательства неустойчивости достаточно показать, что хотя бы одна траектория покидает такую окрестность. Такое более тонкое исследование можно провести с помощью теорем типа теоремы Четаева.

Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка.

§6.1. Основные определения.

В общем случае уравнение с частными производными первого порядка имеет вид: . Здесь  – неизвестная функция. Далее будем обозначать: . Тогда .

Если уравнение представляется в виде: , где  и , то уравнение называется квазилинейным.

Если , а , то уравнение называется линейным. При этом линейное уравнение называется однородным, если , иначе – неоднородным. Соответственно,  – неоднородность линейного уравнения.

Гиперповерхность – это поверхность, размерность которой на единицу меньше, чем размерность рассматриваемого пространства.

Геометрически неизвестной функции  в пространстве переменных  соответствует некоторая гиперповерхность. Если  – решение дифференциального уравнения, то такая гиперповерхность называется интегральной поверхностью уравнения.

Под решением уравнения с частными производными будем понимать непрерывную и непрерывно дифференцируемую функцию, которая при подстановке её в уравнение превращает его в верное тождество.

§6.2. Решение однородных линейных уравнений

Рассмотрим уравнение  в предположении, что все коэффициенты  определены в некоторой области D пространства , непрерывны и непрерывно дифференцируемы в D, причём  в D. Введём вектор . Составим вектор  и тогда уравнение  примет вид:  если  – решение уравнения , то производная этого решения по направлению  в каждой точке равна 0.

 задаёт векторное поле в области D. Векторные линии этого векторного поля являются фазовыми траекториями системы уравнений  – первый интеграл системы . Мы установили: всякое решение уравнения  является первым интегралом системы . Верно и обратное: всякий первый интеграл системы  является решением уравнения , следовательно, чтобы описать всё множество решений этого уравнения достаточно описать множество первых интегралов системы .

Система  называется характеристической системой уравнения .

Фазовые траектории этой системы называется характеристиками этого уравнения.