Математика \ Дифференциальные уравнения

Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 21

Заметим, что в общем случае задача Коши может оказаться разрешимой однозначно, разрешимой, но не однозначно, или неразрешимой. Всё зависит от выбора гиперповерхности S и начальной функции . Следует иметь в виду, что при сколь угодно гладкой функции решение может и не существовать.

Простейшим методом решения задачи Коши является использование общего решения уравнения с последующим удовлетворением начальных условий (если его удаётся построить).

Дополнение: решение уравнений с помощью рядов.

Рассмотрим уравнение в окрестности точки .

Пусть коэффициенты и аналитичны в окрестности точки , причём . Тогда решения уравнения аналитичны в окрестности точки и могут быть построены в виде ряда .

Аналитичность означает сходимость ряда Тейлора в окрестности точки . Для нахождения коэффициентов разложения решения этого уравнения степенной ряд формально подставляется в уравнение и собираются коэффициенты при одинаковых степенях. Получается некоторое рекуррентное соотношение, из которого можно найти коэффициенты.

Пусть коэффициенты уравнения аналитичны в окрестности точки , причём , где имеет в точке нуль порядка (если ), имеет в точке нуль порядка (если ). Тогда это уравнение имеет по крайней мере одно решение, представляемое обобщённым степенным рядом , где s – любая постоянная.

Рассмотрим для примера уравнение Бесселя n-го порядка: . Здесь . Можно искать решение в виде обобщённого ряда , следовательно, решения такого вида существуют при – функция Бесселя n-го порядка. Аналогично . При дробных n функции и линейно независимы, следовательно, они образуют ФСР: . При целых , следовательно, они линейно зависимы.

В качестве второго линейного независимого решения выбираем функцию Неймана . Определим её при дробных – дробное. Функции и линейно независимы при , как целых, так и дробных, следовательно, они образуют ФСР и общее решение: .

ча имеет нетривиальное решение называется собственным значением этой краевой задачи, а нетривиальные решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями этой краевой задачи.

Таким образом, задача переходит в задачу на собственные значения, или задачу Штурма-Лиувилля. Решить задачу на собственные значения значит найти все собственные значения и собственные функции этой задачи.

Свойства собственных значений и собственных функций:

6. Собственные значения существуют и их счётное множество.

7. Собственные значения вещественны.

8. В случае и все собственные значения положительны.

9. Ранг каждого собственного значения равен 1, т.е. любому собственному значению соответствует только одна линейно независимая собственная функция.

10. Собственные функции, соответствующие различным собственным числам ортогональны с весом , т.е. , где и – собственные функции, соответствующие собственным значениям (т.е. – скалярное произведение ).

Теорема Стеклова: Любую непрерывную дважды дифференцируемую на функцию , удовлетворяющую условиям можно разложить в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям краевой задачи: (обобщённый ряд Фурье), где (коэффициенты Фурье).

Доказательство 4-го свойства: Предположим, что собственному значению соответствуют линейно независимые и . Тогда и – решение уравнения при и, т.к. они линейно независимы, то они образуют ФСР, следовательно, на . С другой стороны, и удовлетворяют краевым условиям. Рассмотрим условия при , . Имеем систему уравнений относительно , которая имеет нетривиальное решение , следовательно, матрица этой системы вырожденная: , следовательно, двух линейно независимых функций быть не может.