Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Уравнения первого порядка. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. Уравнения с частными производными первого порядка, страница 24

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений  порядка . Предполагается, что  определена при  и  и что выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Будем полагать, что система  имеет решение  определённое при .

Решение  называется устойчивым (по Ляпунову), если для  при  для любого решения , в начальный момент  удовлетворяющего условию .

Решение  называется притягивающим при , если  для любого решения .

Решение  называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и является притягивающим.

Решение , которое не является устойчивым, будем называть неустойчивыми.

Обычно исследование на устойчивость произвольного решения  сводят к исследованию на устойчивость тривиального решения. В противном случае можно сделать замену  в уравнении . Решению  соответствует  . Т.к. , то , где  . Заметим, что .

Исследуем на устойчивость  в фазовом пространстве системы . Всякому постоянному решению отвечает точка. Такие точки мы будем называть точками покоя системы .

Все предыдущие определения легко переносятся в фазовые пространства. В этом случае можно говорить об устойчивых точках покоя, асимптотически устойчивых точках покоя, неустойчивых точках покоя. Если надо исследовать при , то можно сделать замену .

§5.2 Простейшие типы точек покоя на плоскости

Будем рассматривать систему  в векторной форме:  . Точки покоя этой системы можно найти, решая систему . Если , то эта система имеет единственное решение , иначе система имеет бесконечное множество решений. Ограничимся случаем .

2.  Пусть  и  – собственные числа,  и  – соответствующие им собственные векторы. Общее решение системы представляется в виде .

г)   точка покоя  асимптотически устойчива. Называется устойчивым узлом.

д)  . Фазовый портрет подобен предыдущему, но направление движения противоположно. Точка покоя  неустойчива и называется неустойчивым узлом.

е)   (второй рисунок). Точка покоя  является неустойчивой и называется седлом.

3.  Пусть A имеет комплексные собственные числа: ,  и  –  соответствующие им собственные векторы. Тогда общее решение будет записываться в виде: . Удобнее записать его несколько иначе:  (здесь  – линейная комбинация  и ).

b)   Точка покоя  устойчива. Асимптотической устойчивости нет. Точка покоя называется центром.

в)   В первом случае  точка покоя  называется устойчивым фокусом. Она асимптотически устойчива. Во втором случае   точка покоя  называется неустойчивым фокусом.

4.  Матрица A имеет собственные значения , т.е. собственное значение является кратным. Тогда оно вещественное.

в)  Собственному значению l соответствует два линейно независимых вектора  и . Общее решение: . Все фазовые траектории прямолинейны. При  точка покоя  асимптотически устойчива. Она называется устойчивым дикритическим узлом. При  точка покоя  неустойчива. Она называется неустойчивым дикритическим узлом.

г)  Собственному значению l соответствует один линейно независимый вектор . Общее решение: . Можно считать, что . Здесь при  точка покоя  асимптотически устойчива. Она называется устойчивым (вырожденным) узлом. При  точка покоя  неустойчива. Она называется неустойчивым (вырожденным) узлом.

Эта картина получается из первого случая  при .

Отметим, что из условия  следует, что матрица A не имеет нулевых собственных значений. Однако можно рассмотреть аналогичными методами и случай вырожденной матрицы A.

Проведённый анализ позволяет утверждать следующее:

3.  Если все собственные значения матрицы имеют отрицательную вещественную часть, то точка покоя  асимптотически устойчива (устойчивые узлы и фокусы).

4.  Если хотя бы одно собственное значение матрицы имеет отрицательную вещественную часть, то точка покоя  неустойчива (неустойчивые узлы, сёдла).

Во втором случае второе собственное значение может быть нулевым. В остальных случаях требуется дополнительное условие.

Приведённые утверждения остаются справедливыми, если порядок системы равен n.

§5.3 Исследование на устойчивость по первому приближению