Тепломассообмен. Теория тепломассообмена: Курс лекций, страница 21

Определим безразмерную функцию потока:

На стеночке

Сделаем замену переменных: и преобразуем:

I- поле скоростей

II - коэффициент трения

Результатом решения такой задачи будут:

уравнение неразрывности .

Для решений уравнений теплообмена достаточно уравнений I и II без их решения.

Запишем граничные условия:

Система уравнений I,II – это математическая постановка задачи для нахождения Эта задача преобразуется в задачу Коши и решается численно.

Результаты численного решения.

- относительная величина пограничного слоя.

отличается от на 1%. Значение производной

Выражение для коэффициента трения при ламинарном режиме течения у пластины:

По профилю скорости:

0,5

1 2 3 4 5 6

1 – численное решение гидродинамической задачи;

2 – точное решение уравнения Навье-Стокса

Для точки :

0,5

1 2 3 4 5 6

1 – численное решение гидродинамической задачи;

2 – точное решение уравнения Навье-Стокса.

Из этого следует, что решение гидродинамической задачи даёт качественно неверный результат. Расхождение по поперечной составляющей сильно зависит от числа Рейнольдса. Принято некорректным решать задачу для . Решение гидродинамической задачи будет с погрешностью. Вывод: численный расчет подтвердил наше предположение о то, что решение гидродинамической задачи с погрешностью отличается от точного. Принято считать удовлетворительным решение задачи при ламинарном течении при

Решение задачи теплообмена на пластине.

Рассмотрим ту же самую задачу, но теперь пластина обогреваемая:

Известно: вдоль пластины.

Введём:

Введём безразмерную

Математическая постановка задачи:

1) Уравнение энергии:

2) Граничные условия третьего рода:

Граничные условия:

Заменим безразмерной , а координаты х и у – на :

В качестве примера:

(1)

(2)

Это математическая постановка задачи теплообмена на пластине в безразмерной форме.

Граничные условия:

Выразим через уравнение I. Сделаем предположение, что поле температур слабо влияет на поле скоростей, тогда мы можем вернуться к решению гидродинамической задачи для необогреваемой пластины.

Из I следует: , подставим в уравнение (1):

Используя граничные условия, найдём значения

Решение имеет вид:

Мы решили задачу для интенсивности теплообмена для пластины (распределение температур в пограничном слое). Аналитически задача не решаема, если - не целое число, так как тогда интеграл не существует. Рассмотрим задачу для значений числа Прандтля: