Тепломассообмен. Теория тепломассообмена: Курс лекций, страница 12

- характеристическое            

                                                                                       уравнение для расчёта

                                                                                       корней

 

                                                                                                           правая часть

                    левая

                    часть

 

Решений этого характеристического уравнения бесконечное множество. Решению удовлетворяет множество принятых нами значений k.

Введём безразмерную координату: 

 - критерий Фурье или безразмерное время.

  Общее решение задачи:

где:      - безразмерное отношение разности температур.

   Согласно принятому начальному условию :

через коэффициент А:

                                                      (*)      

                                      Разложение функции в ряд Фурье

(это четная функция)

Если мы возьмём область определения от до  и проинтегрируем от до :

                                                                                                                          

Домножим (*) на  и проинтегрируем:

   Константа А_п для любого частного решения определяется начальными условиями задачи:

 

                                                                                                                                                         

Анализ решения.

Поскольку в решение входит exp с отрицательным показателем, то при больших временах exp – бесконечно малое. Значит, ряд является быстро сходящимся. Если ряд быстро сходящийся, то можно ограничиться только первыми членами ряда. Большим временем можно считать . Если , то ограничиваются только первым членом ряда:

 

                                                             F(Bi)                         F(Bi,X)

В таблицах и монограммах рассчитано для двух точек (в середине пластины

Х=0 и на поверхности Х=1)

 

Одна монограмма для Х=0, другая – для Х=1

Случаи вырождения чисел БИО.

  Вырождение – достижение некоторых предельных значений. Предельными значениями БИО являются бесконечно большие и бесконечно малые.

1)  Бесконечно большое числоBi: .

можно применять предельный подход:

при :   

Если мы рассмотрим выражение для :

     причём:

так как , то

Изобразим это:

 

 

                                                                                                     

  Если поместить пластину в печь, то температура на её поверхности сразу станет равной температуре печи.

  Если , мы получим:

- температура на оси при больших временах.

Выражая  через , мы получим:

   Это время достижения заданной температуры в центре пластины.

2)  Бесконечно малое Био:

  На практике Био вырождено, если 

Корни характеристического уравнения:

При этом:

  Для тонких тел температура описывается одним членом ряда независимо от числа .

  Определим порядок при :

                                       

  Поэтому для малых Био поле температур описывается одним единственным членом ряда:

Изобразим эту зависимость:

 

                                            

                                                                                       

 

  Это означает, что разница температур в центре и на поверхности стремится к нулю.

3)  Рассмотрим :