Тепломассообмен. Теория тепломассообмена: Курс лекций, страница 11

   Для ребра произвольного сечения:

Его решением является:

  Перепишем это решение для круглого ребра в цилиндрической системе координат, учитывая, что задача одномерная. Если ребро тонкое и и , то задача одномерная.

Итак, если, то  записывается:

Обозначим:

                           

                                                                             Уравнение Бесселя                

  Решением этого уравнения всегда являются две функции:

          - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

          - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.

 

При

При

 

   Существуют таблицы, в которых можно найти соответствующие значения функций.

 и  находятся из граничных условий.

   Граничные условия:

                                       (гр. усл. IIIр.)

Решением будет функция некоторых параметров:

По существу нам надо       от круглого ребра, а не      .

где - поправочный коэффициент, который характеризует отличие тепловых потоков:

  Рассчитывать мы уже умеем. - зависит от геометрии прямоугольного ребра.

  При расчёте принимается следующая его геометрия:

такое же как у круглого, , - в справочниках, величина  взаимно уничтожается.

 - функция двух отношений.

Нестационарные процессы теплопроводности.

   Запишем решение нестационарных задач в декартовых координатах.

Начальные условия  должны быть заданы.

Граничное условие задаётся в виде граничных условий III рода:

- любая координата (x,y,z).

 Кроме того, мы должны знать внешние параметры, то есть размеры

и теплофизические параметры:

Незнание одного из условий переводит задачу в нерешаемую.

 

Поместим болванку в печь

 

                                                          - температура на оси или центральной пл-ти

 

   Изменение температур в разных точках тела будет разным. На поверхности температура будет расти сразу, внутри – через некоторое время (время запаздывания). Имеет место разность температур в разных точках тела.

Охлаждение (нагревание) бесконечной пластины.

Задача решается одинаково и для нагрева и для охлаждения.

  Будем считать, что пластина бесконечна постоянной толщины .

 Разместим начало координат в серединной плоскости.

 

Постоянное поле температур в начальный момент времени.

 Известно:

                

                   

                         Задача одномерная, пусть  

-  уравнение теплопроводности

для нестационарной задачи.

Зададим ряд постоянных начальных условий:

                                                                               

    Два граничных условия:

1)   - условие симметрии. Температуры в симметричных точках относительно оси z равны. Будем решать задачу от 0 до .

2)  Граничные условия III рода:

   Используем метод разделения переменных.

Предположим, что решение может быть представлено как произведение двух функций: одна функция зависит от времени, другая – от координат.

Ищем решение:

Пусть:                                 

                                                                 (*)

                                                       

Эти функции могут быть равны, только если (*) = const.

 

                                            Решение первого уравнения:

Решение второго уравнения:                   

Воспользуемся условием симметрии:

Отсюда

Итак:     , где: .

Сгруппируем:           умножим на    .

Обозначим: