Для ребра произвольного сечения:
Его решением является:
Перепишем это решение для круглого ребра в цилиндрической системе координат, учитывая, что задача одномерная. Если ребро тонкое и и , то задача одномерная.
Итак, если, то записывается:
Обозначим:
Уравнение Бесселя
Решением этого уравнения всегда являются две функции:
- модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
- модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
При
При
Существуют таблицы, в которых можно найти соответствующие значения функций.
и находятся из граничных условий.
Граничные условия:
(гр. усл. IIIр.)
Решением будет функция некоторых параметров:
По существу нам надо от круглого ребра, а не .
где - поправочный коэффициент, который характеризует отличие тепловых потоков:
Рассчитывать мы уже умеем. - зависит от геометрии прямоугольного ребра.
При расчёте принимается следующая его геометрия:
такое же как у круглого, , - в справочниках, величина взаимно уничтожается.
- функция двух отношений.
Нестационарные процессы теплопроводности.
Запишем решение нестационарных задач в декартовых координатах.
Начальные условия должны быть заданы.
Граничное условие задаётся в виде граничных условий III рода:
- любая координата (x,y,z).
Кроме того, мы должны знать внешние параметры, то есть размеры
и теплофизические параметры:
Незнание одного из условий переводит задачу в нерешаемую.
Поместим болванку в печь
- температура на оси или центральной пл-ти
Изменение температур в разных точках тела будет разным. На поверхности температура будет расти сразу, внутри – через некоторое время (время запаздывания). Имеет место разность температур в разных точках тела.
Охлаждение (нагревание) бесконечной пластины.
Задача решается одинаково и для нагрева и для охлаждения.
Будем считать, что пластина бесконечна постоянной толщины .
Разместим начало координат в серединной плоскости.
Постоянное поле температур в начальный момент времени.
Известно:
- уравнение теплопроводности
для нестационарной задачи.
Зададим ряд постоянных начальных условий:
Два граничных условия:
1) - условие симметрии. Температуры в симметричных точках относительно оси z равны. Будем решать задачу от 0 до .
2) Граничные условия III рода:
Используем метод разделения переменных.
Предположим, что решение может быть представлено как произведение двух функций: одна функция зависит от времени, другая – от координат.
Ищем решение:
Пусть:
(*)
Эти функции могут быть равны, только если (*) = const.
Решение первого уравнения:
Решение второго уравнения:
Воспользуемся условием симметрии:
Отсюда
Итак: , где: .
Сгруппируем: умножим на .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.