Анализ состояния и структуры аварийности на автомобильном транспорте в Курьинском районе Алтайского края, страница 23

          Затем вычисляются начальные моменты:

m_{k =}   1 / n_ai    Σ x _i^k  r_i

 где    a      -    ширина интервалов

          x _i    -     середина интервалов

          k      -    порядок момента

          r_i       -      частота попадания в интервал

Таблица 8   Интервал времени

Интервалы

06 –08

08 –10

10 – 12

12 – 14

14 – 16

16 – 18

18 – 20

20 – 22

22 - 24

24 – 02

02 – 04

04 - 06

        Приступаем  к оценкам характеристик по соответствующим зависимостям:

1.  Оценка математического ожидания:

X (н) = m₁

2.  Оценка  дисперсии:

S²(x) = m₂-m²

3.  Оценка среднего квадратического отклонения:

S(x) = √ S²(у)

4.  оценка коэффициентов вариации:

S(y)

V (x) =   X(y)

               m_y-3m₂m₁+2m³

^ASⁿ(x) =      [S(y)]⁴

                 m₂-4m₃m₁+6m₂m₁²-3m⁴ – 3

En (x) =                             [S(y)]⁴

 

В силу зависимости вычисляем числовые характеристики случайной величины Р:

                             X(p) = a(x(y) + Pн₁)

                      S(p) = a S(y)

                      A_s(P) = A_s(y)

                                  E_k(P) = E_k(y)

                      V(P) = V (y)

Точечной называют оценку которая определяется одним числом. При выборе все оценки, рассмотренные выше – точечные малого объема. Точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться  интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – границами интервала. Интервальная оценка позволяет  установить точность и надежность оценки.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика  Ő служит  оценкой неизвестного параметра Ő. Будем считать Ő постоянным числом. Ясно, что Ő тем точнее определяет параметр Ő, чем меньше абсолютная величина разности (О- Ő). Другими словами, если ∂>0 и  |O-Ő|<∂, то чем меньше ∂, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число ∂ характеризует точность оценки. Надежностью оценки О и Ő называют вероятность ј , с которой осуществляется неравенство  |O-Ő|<∂. Наиболее часто задают надежность равную 0,99; 0,0999.

Пусть вероятность того, что |O-Ő|<∂ равна:

Pi [(Ő - ∂<O< Ő+∂.)] = ј

Заменим неравенство |O-Ő|<∂. Равносильным ему достойным неравенством : - ∂<O-Ő <∂   тогда имеем:

P [(Ő - ∂<O< Ő+∂.)] = ј

Это соотношение надо понимать так: вероятность того, что интервал

(Ő - ∂; Ő+ ∂)  заключает в себе  неизвестный параметр Ő равный ј.

        Доверительным называют интервал,  который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью ј.

Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении, находятся из выражения:

            S(y)

X ±tj    √N

Таким образом имеем:

            S(y)                    S(y)

P(X -tj √N   <M(y) < tj  √N     + X) = j  , где

  tj – коэффициент, который определяется по  N и  j.

Законы распределения случайных  величин отражают физическую сущность  рассматриваемых явлений. Совокупность факторов или условий, приводящих к возникновению этого или иного вероятного  закона, называют математической моделью явления. Применительно к  нормальному закону, математической  моделью служат следующие условия: исследуемое явление является суммой  воздействия достаточно большого количества  различных случайных независимых между собой или слабо  зависимых источников. Дисперсии и математические ожидания складываемых источников мало отличаются друг от друга и от математического ожидания  и дисперсии складываемой суммы.