Основы математического и физического моделирования систем управления, страница 4

Подставляя выражение U_S в уравнение (а) и разрешая его относительно Uвых, имеем

                                             (б)

Так как К_оу=105 ¸ 106, то величина. Пренебрегая этой величиной в знаменателе уравнения (б), получаем

;                                    (1.3)

где

.

Таким образом, рассмотренный решающий усилитель суммирует входные напряжения с одновременным умножением их на постоянные коэффициенты. Такой решающий усилитель называется сумматором. Величина  называется коэффициентом передачи сумматора по i -ому входу.

Замечание. Пренебрежение величиной

при выводе уравнение (1.3) равносильно принятию допущения  K_ОУ=¥ или При допущении U_S=0 уравнение (1.3 ) непосредственно следовало из уравнения (а). В дальнейшем будем принимать непосредственно допущение U_S=0.

 Частные случаи.

1)  n=1 Уравнение (1.3) принимает вид

                                             (1.4)

Решающий усилитель умножает входное напряжение на постоянный коэффициент и называется масштабным.

2) n=1 и R₁=R₀. Уравнение (1.3) принимает вид

U_ВЫХ=-U_ВХ

Решающий усилитель изменяет знак входного напряжения и называется инвертором.

2. Интегратор - сумматор.

На рис. 1.4 изображена схема решающего усилителя, у которого элементом Zi является резистор R_i , а элементом Z₀- конденсатор емкостью  С₀

В рассматриваемом случае токи i_i и i₀ определяются выражениями    .

Согласно уравнению (1.2)

,

откуда, полагая U_S =0, имеем

Интегрируя это уравнение в пределах: U_ВЫХ от U_ВЫХ(0) до U_ВЫХ,

t от 0 до t  получаем

.                    (1.6)

При U_ВЫХ(0)=0 уравнение (1.6) имеет вид

                                              (1.6а)

или в операторной форме

;                               (1.6б)

где .

Таким образом, рассмотренный решающий усилитель интегрирует сумму входных напряжений, умноженных на постоянные коэффициенты, Такой решающий усилитель называется интегратором-сумматором. Величина называется коэффициентом передачи интегратора-сумматора по i-му входу.

В случае n=1 уравнения (1.6) и (1.6 а,б) принимают вид:

,                                           (1.7)

,                                      (1.7a)

.                                      (1.7б)

Такой решающий усилитель называется интегратором.

3. Дифференцирующий усилитель.

На рис. 1.5 изображена схема решающего усилителя, у которого элементом Z_i является конденсатор ёмкостью С_i, а элементом Z_i- резистор R₀.

В рассматриваемом случае токи i_i и i₀ определяются выражениями ;                    .

Согласно уравнению (1.2)

откуда, полагая U_S = 0, имеем

Меняя порядок выполнения операций, получаем

,                                (1.8)

или в операторной форме

,                            (1.8а)

где K_i=R₀C_i

Таким образом, рассмотренный решающий элемент дифференцирует сумму входных напряжений, умноженных на постоянные коэффициенты. Такой решающий усилитель называется дифференцирующим. Величина Ki=R₀C_i называется коэффициентом передачи дифференцирующего усилителя по i-му входу.

В случае n=1 уравнения (1.8) и (1.8а) принимают вид

,                                 (1.9)

.                              (1.9a)

Замечание. При моделировании по возможности избегают применения дифференцирующих усилителей вследствие их повышенной чувствительности к помехам.

Лекция №3

План лекции.

1. Общее уравнение РУ.

2. Решение с помощью РУ линейных дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями.

1.3. Общее уравнение решающего усилителя.

В общем случае токи i_i и i₀ (см. рис. 1.2) определяются выражениями

       

где Z_i(P_М) - комплексное сопротивление элемента Z_i;

Z₀(P_М)- комплексное сопротивление элемента Z₀.

Согласно уравнению (1.2)

откуда, полагая , получаем

                              (1.10)

где .                                                (1.11)

Уравнение (1.10) является общим уравнением решающего усилителя. Величина  называется передаточной функцией решающего усилителя по i-тому входу.

В случае n=1 уравнение (1.10) принимает вид

                                (1.12)

Частными случаями уравнения (1.10) являются уравнения (1.3), (1.6б) и (1.8а). Действительно: для сумматора Z₀(P_М)=R₀, Z_i(P_М)=R_i и из уравнения (1.10) следует уравнение (1.3); для интегратора-сумматора , Z_i(P_М)=R_i и из уравнения (1.10) следует уравнение (1.6б); для дифференцирующего усилителя Z₀(P_М)=R₀,  и из уравнения (1.10) следует уравнение (1.8а).

Частными случаями уравнения (1.12) являются уравнения (1.4), (1.7а) и (1.9а).

Элементами Z_i и Z₀ могут являться не только резисторы и конденсаторы, но и различные цепи из резисторов и конденсаторов. Схемы и комплексные сопротивления Z(P_М) таких цепей приведены в таблице 1.1 (таблица 1.1 находится в файле tabl2a.doc)

С помощью решающего усилителя, у которого элементами Z_i и Z₀ являются цепи из резисторов и конденсаторов, можно решать линейные дифференциальные уравнения с нулевыми начальными условиями. Рассмотрим несколько схем таких решающих усилителей.

I). На рис. 1.6 изображена схема решающего усилителя, у которого элементами Z_i и Z₀ являются цепи, значащиеся в таблице I.I соответственно под № I и №3. Из таблицы следует, что

Z₁(P_М)=R₁;     .

Подставляя выражения z₁(p_M) и z₀(p_M) в уравнение (1.12), получаем

                                        (1.13)

или

                                    (1.13a)

Рассмотренный решающий усилитель называется инерционным,

2) На рис. 1.7. изображена схема решающего усилитителя, у которого элементами Z₁ и Z₂ являются цепи, значащиеся в таблице 1.1. под № 3. Из таблицы следует, что

                                    

Подставляя выражения Z₁(p_M) и Z₀(p_M) в уравнение (I.I2), получаем

или:

                                                                         (1.14)

или:

                                              (1.14a)

3) На рис. 1.8 изображена схема решающего усилителя, у которого элементами Z_i и Z₀ являются цепи, значащиеся в таблице 1.1. соответственно под №1, №2, и №3. Из таблицы следует, что