Вероятностное описание погрешностей измерения, страница 9

Примерный вид нормальных плотностей вероятностей показан на рис.2. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону (4.1), равно , а дисперсия .

На рисунке показаны три кривые для .

Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид

,                 (4.2)

где  – табулированный интеграл Лапласа.

Распределение хи-квадрат. Такое распределение имеет сумма квадратов независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Число слагаемых  называется числом степеней свободы. Это распределение используется при построении доверительных интервалов для оценок дисперсий и имеет вид:

,                         (4.3)

где  – гамма функция Эйлера.

Распределение Стьюдента. Такое распределение имеет случайная величина

,                    

где  – распределено нормально с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией;  – имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы. Оно используется при определении доверительных интервалов результатов прямых измерений при экспериментально оцениваемой дисперсии.

     (4.3)

Распределение Фишера. Такое распределение имеет величина

,

где величины  имеет распределение хи-квадрат с  степенями свободы . Такое распределение используется при анализе оценок дисперсий случайных величин. Оно табулировано для различных значений , .

.        (4.4)

5. Системы случайных величин и их характеристики

С системами случайных величин сталкиваются во всех случаях, когда результаты эксперимента характеризуются несколькими случайными величинами, которые в силу взаимной зависимости необходимо рассматривать как единое целое, например, как случайный вектор , где знак  обозначает операцию транспонирования матрицы. С системами случайных величин имеют дело при обработке результатов косвенных, совокупных и совместных измерений.

Способы описания системы случайных величин аналогичны способам описания одномерных случайных величин. Исчерпывающими вероятностными характеристиками системы из  случайных величин является -мерная функция распределения

                   (5.1)

или -мерная плотность вероятности

.   (5.2)

Как и в случае одномерном, многомерные функции распределения и плотности вероятности взаимнооднозначно определяют друг друга:

, 

. (5.3)

Многомерная функция распределения удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) ;                                                            ,

3)  ,      .

Свойства многомерной плотности вероятностей аналогичны свойствам одномерной:

1) ;

2) .                                              (5.4)

Аналогично (2.7) определяется вероятность пребывания случайного вектора  в любой области  -мерного пространства :

.  (5.5)

Если координаты случайного вектора статистически независимы, то

.                              (5.6)

Это соотношение является необходимым и достаточным условием для статистической независимости случайных величин.

Математическим ожиданием функции  нескольких случайных величин называется число

.         (5.7)

Для -мерного случайного вектора  также вводятся понятия математических ожиданий его компонент и вторых центральных моментов:

,     ,          (5.8)

.         (5.9)

Очевидно, что . Матрица, компоненты которой являются случайными величинами, называется случайной матрицей. Математическим ожиданием  случайной матрицы  называется матрица, компоненты которой равны математическим ожиданиям компонент матрицы .

Симметрическая матрица , компонентами которой являются величины  из (5.9), называется ковариационной матрицей случайного вектора . В матричном виде выражение для нее будет:

.              (5.10)

Для независимых случайных величин  справедливы следующие важные свойства:

,                        (5.11)

.                          (5.12)

В приложениях метода наименьших квадратов часто приходится иметь дело с -мерным случайным вектором , компоненты которого распределены по нормальному закону и представляют собой случайные погрешности наблюдения. При этом зачастую составляются линейные комбинации наблюдений и их погрешностей вида:

,                        (5.13)

где  – случайный вектор, получающийся из вектора  путем линейного преобразования, задаваемого матрицей  размера . Если  и ранг матрицы  равен , то вектор  будет называться невырожденным, и его компоненты тоже будут распределены нормально. Причем вектор математических ожиданий :

,                               (5.14)

а ковариационная матрица :

.                      (5.15)

Для двух случайных величин  и , имеющих совместное распределение  мерой их статистической зависимости является коэффициент корреляции:

,                        (5.16)

где  – второй центральный момент распределения , задаваемый выражением (5.9). Если , то величины  и  статистически независимы, и наоборот, если , то между  и  существует линейная зависимость.

1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

1.1. Выборка. Статистика.

Основным понятием математической статистики является выборка или совокупность, наблюдений какого-либо количественного показателя. Ее еще называют выборка из генеральной совокупности. Допустим, что имеется n значений некоторой величины, которые объединены в один вектор , где ^T обозначает операцию транспонирования матрицы. Число n называется объемом выборки. Также полагается, что наблюдения данной величины получены в результате измерений, сопровождавшихся неизбежными случайными ошибками, поэтому величины x_i все различны. Совокупность всех величин x_i  называется случайной выборкой, которую удобно рассматривать как n-мерный случайный вектор. Если предположить, что было произведено бесконечное количество опытов, в которых измеряемая величина приняла некоторые значения x_i (n = ¥), то совокупность всех этих значений есть генеральная совокупность.

Выборка называется повторной, если все x_i  независимы и имеют одинаковый закон распределения F₁(x):

в противном случае выборка бесповторная.