Вероятностное описание погрешностей измерения, страница 16

,                           (2)

т.е. при выборе  по предписанию наименьших квадратов с учетом весов . Приравнивая частную производную  из (2) по  нулю, получаем

.                        (3)

Оценка  называется средней взвешенной оценкой. Несложно показать [1,2], что математическое ожидание и дисперсия оценки  соответственно равны:

;    .    

Таким образом, оценка  является несмещенной, а ее вес равен сумме весов усредняемых результатов. В [1] показано, что данная оценка эффективна.

Для нахождения оценки параметра  продифференцируем (1) по  и приравняем производную нулю. Из получающегося уравнения вычисляем:

.                              

Аналогично случаю равноточных измерений вместо  используем его оценку максимального правдоподобия (3), тогда:

.                               (4)

Оценка является смещенной; для ликвидации ее смещенности вводится поправочный множитель

.      (5)

2. Оценивание с помощью доверительных интервалов

Построение доверительного интервала для величины  основано на том, что величина

                      

распределена по закону Стьюдента с  степенями свободы. Поэтому доверительный интервал для истинного значения  будет

,                               (6)

где  – число из таблицы распределения Стьюдента, соответствующее заданному уровню значимости  и числу степеней свободы .

Аналогично дробь

,                            

распределена по закону  с  степенями свободы; и доверительным интервалом для параметра  будет

,      (7)

где  и – числа из таблицы -распределения, соответствующие заданной даверительной вероятности и числу степеней свободы .

3. Пример неравноточных измерений

Двенадцать студентов измеряли сопротивление проводника R одним и тем же способом. Каждый студент провел различное количество наблюдений, подсчитал выборочное среднее значение собственных наблюдений  и записал его. Результаты измерений приведены в таблице 1. Считая отдельные наблюдения всех студентов равноточными и независимыми, оценить значение сопротивления проводника и точность его определения, используя результаты измерений выборочного среднего всеми студентами.

Таблица 1.

Номер ст-та j	Среднее значение сопротивления	Число наблюдений	Вес измерения
1	12.208	3	0.231	0.0480	0.009994
2	12.476	4	0.308	0.1466	0.069785
3	12.193	11	0.876	0.1691	0.032630
4	12.306	7	0.538	0.1646	0.050376
5	12.691	6	0.462	0.3192	0.220596
6	12.794	13	1.000	0.7940	0.630436
7	11.660	5	0.385	-0.1309	0.044506
8	12.481	8	0.615	0.2958	0.142287
9	13.363	4	0.308	0.4198	0.572193
10	13.025	9	0.692	0.7093	0.727033
11	12.867	12	0.923	0.8002	0.693809
12	12.717	10	0.769	0.5707	0.395334
		Сумма	7.107	4.3064	3.588979

Если предположить, что отдельные наблюдения у всех студентов не имеют систематических погрешностей, т.е. ошибки измерений распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и неизвестной дисперсией , то подсчитанные ими средние значения  будут уже неравноточными, т.к. студенты провели различное число наблюдений. Поэтому при расчете оценок неизвестных параметров R и  выборочные средние  должны использоваться с учетом весов измерений , которые теория рекомендует выбирать обратно пропорциональными дисперсиям соответствующих погрешностей результатов измерений. В данном случае в качестве весов можно выбрать значения, пропорциональные объему выборок  в сериях.

Для удобства расчетов веса отнормированы к значению максимального из  , они приведены в таблице в столбце .

В данном случае для решения задачи необходимо воспользоваться результатами раздела 1.1. Оценки неизвестных параметров R и  находятся из выражений (3) и (5), но для удобства их вычислений на калькуляторе рекомендуется заменить их на эквивалентные формулы (3а) и (5а), выбрав надлежащим образом величину , например .

             (3a)

(5a)

Из (3a) и (5a) находим ; ; .

Теперь построим доверительные интервалы для  и . Выберем доверительную вероятность, равной , тогда для числа степеней свободы  по таблице распределения Стьюдента находим . Подставляя значение точечной оценки и величины  в (6), вычисляем . Для тех же самых  и  по таблице распределения  находим два числа  и  и подставляем их в (2) (см. Ч.II). Получаем доверительный интервал для параметра : . Тогда доверительный интервал для  равен: .

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При совместных измерениях неизвестные значения искомых параметров находят из решения системы уравнений, связывающей эти параметры с величинами, измеряемыми непосредственно. Из всего многообразия систем уравнений аналитические решения в общем случае можно выписать только для линейных систем. Поэтому сначала рассмотрим методы обработки экспериментальных данных, когда искомые параметры определяются в результате решения линейных уравнений, а далее проанализируем нелинейный случай.

1. Случай линейной системы уравнений

Пусть имеется линейная система уравнений:

                  

где   – искомые неизвестные параметры;   измеряемые значения величин;  – величины, значения которых точно известны.

Перепишем данную систему в виде

,       .    (1)

Будем считать, что уравнения (1) выполняются точно, однако значения  измеряются с погрешностями, то есть мы наблюдаем искаженные погрешностями величины