Вероятностное описание погрешностей измерения, страница 12

2)  математическое ожидание погрешности , т.е. отсутствует систематическая погрешность;

3)  погрешность  имеет дисперсию , одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

4)  погрешности отдельных наблюдений независимы.

Тогда плотность распределения любого результата  запишется в виде:

.            (2)

Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин  представляющая собой функцию правдоподобия выборки, будет иметь вид:

.         (3)

Найдем оценку максимального правдоподобия  неизвестного параметра , используя результаты наблюдения (1). Она выбирается так, чтобы при  достигалось

.                              (4)

Из (3) следует, что для выполнения (4) необходимо, чтобы

                        (5)

Условие (5) совпадает с критерием наименьших квадратов [1, 2]. Поэтому при нормальном законе распределения погрешностей наблюдения оценки по ММП и МНК совпадают. Подставляя в (5)  вместо  и приравнивая частную производную  по  нулю, получаем значение оценки  по ММП, которое совпадает с оценкой  по МНК.

,                       (6)

т.е. наилучшей оценкой является выборочное среднее значение  результатов наблюдений. Из (6) следует, что оценка  является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

;   .      (7)

Таким образом, оценка  имеет более высокую точность, т.к. ее дисперсия в  раз меньше дисперсии отдельных измерений. Разброс результатов оценивания характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (7) следует, что при усреднении результатов N наблюдений случайная погрешность уменьшается в  раз. На рис. 1 показаны графики плотностей вероятности исходных наблюдений  и выборочного среднего  для . Полученная оценка  является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Рис. 1.

Для оценки неопределенности (разброса) величины с необходимо оценить значение дисперсии  погрешности измерений. Из (3) видно, что функция правдоподобия выборки  зависит еще и от параметра , поэтому ее можно представить в виде . Вычисляя частную производную логарифма этой функции по  и приравнивая ее нулю (здесь пользуются свойством монотонности функции логарифм), находим

.                         (8)

Но истинное значение c неизвестно, поэтому в (8) вместо  подставляют его оценку максимального правдоподобия (6), а соответствующую оценку дисперсии обозначим :

.                          (9)

Однако доказано, что оценка , вычисляемая по (9), получается смещенной [1-4], т.к. ее математическое ожидание не равно . . Но , поэтому оценка  называется асимптотически несмещенной. Полученную смещенную оценку легко сделать несмещенной, введя поправочный множитель. Обозначим несмещенную оценку параметра  через :

.           (10)

Существует другая форма записи выражения (10), более удобная в вычислительном отношении при обработке результатов наблюдения на ЭВМ, но уступающая (10) с точки зрения точности вычислений:

.                      (11)

Полученные оценки (6) и (10) измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

2.2. Оценивание с помощью доверительных интервалов

Сформулируем сначала общий подход к интервальному оцениванию параметров. Предположим, что необходимо получить доверительный интервал для некоторого параметра , для которого вычислена точечная оценка  и известна плотность распределения этой оценки  (рис.2).

Пусть задана доверительная вероятность P. Построить доверительный интервал – это значит найти его границы  и  такие, что:

.                                  

Чтобы сформулированная задача имела единственное решение, сделаем следующие логически обоснованные допущения:

1)  математическое ожидание  равно вычисленной точечной оценке ;

2)  вероятности того, что истинное значение оцениваемого параметра лежит выше верхней границы  или ниже нижней границы  доверительного интервала, одинаковы и равны , т.е. границы  и симметричны относительно  для симметричных относительно математического ожидания законов распределения .

Определим доверительный интервал для истинного значения с измеряемой величины. Границы этого интервала зависят не только от оценки  измеряемой величины, но и от оценки  среднего квадратического отклонения погрешности. Для построения доверительного интервала необходимо вычислить величину [1-3]

.                          (12)

При нормальном распределении погрешностей величина  распределена по закону Стьюдента с  степенями свободы (-распределение). Распределение Стьюдента зависит от числа опытов . В специальных таблицах [1-3] приведены значения  для величины , имеющей распределение Стьюдента с  степенями свободы, определяемые из условия

,                      

где  – плотность -распределения. Полагая  ( – доверительная вероятность) и зная , по таблице находим границу .

Подставив в (12) значение  вместо , получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

.                          (13)

При построении доверительного интервала для дисперсии  случайной погрешности используют случайную величину [1-3]

.              (14)

которая при нормальном распределении погрешностей распределена по закону  с  степенями свободы. В таблицах [1-3] приведены значения  для величины , имеющей -распределение с  степенями свободы, определяемые из условия

,                     

где  – плотность -распределения. Так как это распределение не симметрично, то по таблице необходимо указать значения верхней и нижней границ интервала  и , соответствующие вероятностям  и , где  – доверительная вероятность. Подставив вместо  из (14) найденные значения  и , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

.    (15)

2.3. Примеры решения задач

Опыты Милликена [1, стр.102].