Вероятностное описание погрешностей измерения, страница 6

а) В качестве норм указывают пределы допускаемых погрешностей, включающих в себя систематические и случайные составляющие;

б) Порознь нормируются все свойства средств измерений, влияющие на их точность. Основные и дополнительные. Устанавливаются классы точности изделий.

Класс точности – обобщенная характеристика средства измерения, определяемая пределами, допускаемыми основной и дополнительной погрешностями, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность.

ГОСТ 8.401-80 – способы нормирования метрологических характеристик. Класс точности выражается числом:

; ;; ; ; ;  (где h=1, 0, -1, -2, и т.д.).

Правила и примеры обозначения класса точности средств измерения
Преобладающий вид погрешности	Форма для определения основной погрешности	Пределы допуска при погрешности, %	Обозначение	Пример
Аддитивная ИП	Приведенная		или	1.5 или 2.5
	Относительная			2.5
Аддитивная + мультипликативная ИП	Относительная
			Римские цифры и буквы
Аддитивная ИП	Абсолютные

3. Обработка результатов измерений

3.3. Обработка результатов косвенных измерений

В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых а₁, а₂, … , а_m.

                                         (3.16)

Пусть каждая величина а_j  измерена с погрешностью . Необходимо оценить значение погрешности результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных а_j , запишем её полный дифференциал:

 или                   (3.17)

Предположим, что погрешности измерения достаточно малы, заменим в (3.17) дифференциалы соответствующими приращениями:

                                                        (3.18)

В (3.18) каждое слагаемое вида  представляет собой частотную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью измерения величины . Формула (3.18) – приближенная для систематической погрешности .

Если  разных знаков, то происходит частичная компенсация их вклада в .

Если заданы предельные значения погрешностей , то можно оценить предельную погрешность :

                                       (3.19)

Если же погрешность  независимы, и математические ожидания их равны 0, то математическое ожидание  будет равно:

                                     (3.20)

а дисперсия:

                                          (3.21)

где  - дисперсия погрешностей .

Если проведены серии измерения  - прямых:

, …()

всего m – серий по k_j в каждой. То оценка параметра z будет:

                                     (3.22)

где

                                       (3.23)

Причем систематическая погрешность , определяется (3.18), математическое ожидание случайной погрешности  равно нулю, а дисперсия определяется по (3.21).

Важные частные случаи.

1. Функция  линейная, т.е. , где с_j – известные коэффициенты. Тогда все:

и формулы приобретают вид:

2. Функция  логарифмируема:

 - действительные числа.

Прологарифмируем z, а затем возьмем частные производные по :

Здесь удобно рассматривать не абсолютную, а относительную погрешность z:

Пример.

. Пусть ; ; ; ; ; .

3.6. Погрешности косвенных измерений

Анализ погрешностей косвенных измерений в большинстве случаев заключается в расчете числовых характеристик погрешности определения измеряемой величины по заданным характеристикам погрешностей измерений аргументов.

Если известны истинные значения аргументов , то истинное значение величины, измеряемой косвенным методом, будет:

                                            (3.34)

но результаты прямых измерений известны с погрешностями:

значит

если

 (погрешности малы),

то разложим (3.35) в ряд Тейлора:

                   (3.36)

систематическая погрешность:

т.к.  - систематическая плюс случайная составляющие,

то

; ; ;        (3.37)

В линейном случае, когда  - линейная функция:

                                              (3.38)

Нелинейная поправка:

               (3.39)

зависит не только от систематических погрешностей аргументов, но и их случайных погрешностей. В случае малых погрешностей измерений  поправку можно не учитывать.

Для оценки случайной погрешностей измерений необходимо вычесть (3.37) из (3.36) и пренебречь членами, содержащими квадраты погрешностей:

Возводим это равенство в квадрат, и находя математическое ожидание от его обеих частей, имеем:

Тогда:

                  (3.40)

Для независимых погрешностей :

                                        (3.41)

Частные случаи:

 , =>

 ;  

 - относительные систематические погрешности;

Пример 1. По результатам прямых измерений емкости и  определена емкость . Найти погрешности её измерения, если заданы , , , , . Согласно (3.38) и (3.41) систематическая и случайная погрешности будут:

Вводится поправка, для направления результата:

Для доверительной вероятности , :

, =>  

СКО:

, при .

В нашем примере , ç!

Рассмотрите случай, когда r₁₂=1?

Пример 2. По результатам измерения напряжения  и сопротивление  косвенным методом измерена мощность . Определить погрешности её измерения, если , .

По формулам для произведения:

Относительно СКО:

Мощность ;

; ; ;

Результат измерений:

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ОПИСАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

В измерительной технике имеют дело с большим количеством массовых явлений. Сюда относится множество измерений, проводимых с помощью одного и того же средства измерений (СИ), характеристики множества СИ одинакового типа и т.д. При этом мы встречаемся как со случайными событиями (отказы СИ, правильные и неправильные решения при контроле, наличие грубых промахов), так и со случайными величинами (погрешности измерения, время безотказной работы, значение контролируемого параметра) и случайными процессами (флуктуации питающих напряжений, тепловые и дробовые шумы электронных устройств). В силу этого аппарат теории вероятностей оказывается наиболее адекватным сути многих задач измерительной техники.