Другие предметы \ Метрология, стандартизация и сертификация

Вероятностное описание погрешностей измерения, страница 14

Предположим, что известна плотность распределения оценки . Изобразим ее графически (рис.3), полагая, что выдвинутая гипотеза верна, т.е. . Установим две границы и и сформулируем следующее решающее правило: если , то гипотеза принимается; если или , то гипотеза отклоняется.

При этом может быть принято ошибочное решение, причем вероятность ошибки равна

Рис. 3.

Рассмотрим другой пример задачи проверки гипотез. Пусть некоторый параметр распределения случайной величины может принимать только одно из двух значений: или . На основании экспериментально полученной оценки необходимо решить, какое значение имело место в эксперименте. В данном случае необходимо проверить гипотезу (так называемую нулевую гипотезу) против альтернативнай гипотезы . На рисунке 4 изображена плотность распределения как при условии справедливости нулевой гипотезы , так и при условии справедливости альтернативной гипотезы .

Рис. 4.

Установим границу и сформулируем решающее правило: если , то принимается нулевая гипотеза ; если , то принимается альтернативная гипотеза .

Обозначим следующие вероятности:

; .

При принятии решения в соответствии с указанным решающим правилом возможны четыре ситуации:

1) нулевая гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 1-го рода (иногда называемая ложной тревогой), вероятность которой равна - уровню значимости;

2) альтернативная гипотеза верна, но отклоняется. При этом имеет место ошибка 2-го рода, вероятность которой равна ;

3) нулевая гипотеза верна и принимается. Вероятность такого события равна ;

4) альтернативная гипотеза верна и принимается. Вероятность этого равна и называется мощностью решающего правила.

Рассмотрим конкретные простейшие задачи проверки статистических гипотез.

1. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания заданному значению

Пусть имеется выборка (1) из наблюдений, причем погрешности удовлетворяют предположениям 1) - 4). Положим выборочное среднее (6) равным , а выборочную дисперсию (10) – (см. раздел 2). Выдвигается гипотеза о том, что .

Как известно, величина распределена по закону Стьюдента с степенями свободы [1]. Поэтому условием принятия гипотезы будет выполнение неравенства

. (1)

В случае невыполнения этого неравенства гипотеза отклоняется. Зададимся уровнем значимости . Для вероятности и числа степеней свободы по таблице распределения Стьюдента находят число , подставляют его в (1) и проверяют выполнение этого неравенства. В зависимости от того, выполняется (1) или нет, принимают или отвергают выдвинутую гипотезу.

2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсии заданному значению

В условиях предыдущей задачи необходимо проверить гипотезу о равенстве дисперсии (нулевую гипотезу).

Как известно, величина распределена по закону с степенями свободы [1]. Поэтому условием принятия нулевой гипотезы будет выполнение неравенства

, (2)

где и значения величины из таблицы, соответствующие вероятностям и и числу степеней свободы .Задаваясь требуемым уровнем значимости и зная число , по таблице находят величины и и подставляют их в (19). В случае выполнения неравенства нулевая гипотеза о равенстве дисперсии величине принимается; если же (2) не выполняется, то гипотеза отвергается.

3. Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий

Пусть по данным двух независимых выборок наблюдений и получены оценки и дисперсий и соответственно. Необходимо проверить гипотезу, что , т.е. дисперсии наблюдений и равны.

В данном случае выбор критерия основан на том факте, что если величины и распределены по нормальному закону и взаимно независимы, то случайная величина имеет -распределение Фишера, зависящее только от целых констант и [1-3]. Данное распределение затабулировано. По двум входным величинам , и уровню значимости находят величину , которую подставляют в неравенство

, (3)

где индексы и относятся соответственно к большей по величине и меньшей оценкам дисперсий и . Для того, чтобы гипотеза о равенстве дисперсий и была принята с уровнем значимости (доверительной вероятностью ), необходимо выполнение неравенства (3). В противном случае данная гипотеза должна быть отвергнута в пользу альтернативной гипотезы, что . Необходимо помнить, что при использовании (3) с уровнем значимости в таблице распределения Фишера выбирается число, соответствующее значению уровня значимости .

4. Резко выделяющиеся наблюдения

Иногда в рядах наблюдений попадаются данные, которые на глаз резко выделяются среди других. Это может быть случайным обстоятельством, т.к. в последовательности наблюдений теоретически могут быть данные , сильно уклоняющиеся в обе стороны от , но может быть вызвано и грубой ошибкой наблюдателя.

Рассмотрим в ряду наблюдений , распределенных нормально (1) и независимых, например, максимальное . Для того, чтобы решить, нужно ли отбросить наблюдение как грубую ошибку, можно воспользоваться правилом "трех сигм", но более грамотно это следует выяснить с помощью критерия Ф. Грэббса. Для этого нужно сформировать дробь "типа Стьюдента"

, (4)

распределение которой зависит только от объема выборки , и оно было затабулировано Грэббсом. По заданным и доверительной вероятности необходимо найти в таблице Грэббса число . Если окажется , то следует отбросить, как наблюдение, содержащее грубую ошибку; а если , то можно оставить. Если подозрение вызывает минимальное из чисел , то дробь (4) следует видоизменить