Проверка многомерных статистических гипотез. Проверка гипотезы о равенстве вектора средних значений заданному вектору

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс многомерного статистического анализа (МСА) является неотъемлемой частью программы университетской подготовки современного экономиста. Этот курс значительно расширяет возможности социально-экономических исследований, включая математико-статистическое моделирование сложных явлений и процессов, происходящих в обществе.

Содержание практикума определено типовой программой по дисциплине «Многомерные статистические методы» для специальности 1-25 01 05 «Статистика». Основная цель — помочь приобрести навыки применения на практике методов МСА и интерпретации аналитических результатов.

При определении структуры практикума принималось во внимание, что почти все многомерные статистические методы имеют объемный математический аппарат и сложные алгоритмы расчетов, требующие четкой постановки задач и использования вычислительной техники.

Последовательность расположения тем в практикуме обусловлена следующим: сначала рассматриваются традиционные статистические методы, широко используемые в аналитической практике, а затем приведены наиболее сложные и редко встречающиеся, например, многомерное шкалирование, кластерный и дискриминантный анализ, метод канонических корреляций.

Главы практикума разделены на параграфы, включающие краткое изложение теоретических основ и алгоритмы методов МСА, примеры решения типовых задач, наборы задач для практических занятий и самостоятельного решения. По отдельным темам приводятся также рекомендации по решению типовых задач на компьютере с использованием пакета STATISTIСA.

Условия задач в пособии сформулированы таким образом, чтобы показать широкие возможности практического приложения того или иного аналитического метода.

В приложениях к практикуму приведены основные математико-статистические таблицы, необходимые при решении задач.

Авторы практикума:

Л.А. Сошникова — доктор экономических наук, доцент (главы 3, 6, 7, 8);

В.Н. Тамашевич — кандидат экономических наук, доцент (главы 1. 2, 4, 5).

1. Проверка многомерных статистических гипотез

1.1. Методические рекомендации

Статистические гипотезы — это выдвигаемые теоретические предположения относительно параметров статистического распределения или закона распределения случайной величины. В соответствии с решаемой задачей различают параметрические и непараметрические гипотезы.

При проверке статистических гипотез используется понятие нулевой (прямой) и альтернативной (обратной) гипотез. Прямая гипотеза  (Н₀)  является основной и содержит обычно утверждение об отсутствии различий между сравниваемыми величинами. Альтернативная гипотеза  (Н₁)  принимается после того, как отвергнута основная. Ниже приведены примеры статистических гипотез, которые формулируются для проверки равенства параметров нормально распределенной одномерной и многомерной случайных величин (табл. 1.1).

Таблица 1.1

В статистике рассматривают простые и сложные параметрические гипотезы. Простая гипотеза содержит только одно предположение относительно оцениваемого параметра, например, предположение о том, что среднее значение  j-го  признака равно нулю:  Н₀:  = 0, или  Н₁:  ≠ 0.         Сложная гипотеза состоит из нескольких простых гипотез. Например, H₀: > 0 — это означает, что могут быть  H₀:  = 1; H₀:  = 2 и т.д., т.е. здесь гипотеза состоит из набора простых гипотез.

Для того чтобы проверить гипотезу, используют статистические критерии, позволяющие выяснить, следует ли принять или отвергнуть нулевую гипотезу. Если расчетное значение критерия не превышает критического, то есть веские основания для принятия прямой (нулевой) гипотезы. В противоположном случае целесообразно предположить справедливость альтернативной гипотезы  (Н₁).

Проверка статистических гипотез всегда допускает определенную вероятность ошибки в выводах:

a — вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она справедлива;

b =1 – a — вероятность принять нулевую гипотезу, когда она ложна.

В экономических исследованиях обычно используется  a — вероятность ошибки первого рода. Наиболее распространенными в практике экономического анализа значениями  a  являются: 0,001; 0,005; 0,1.

В многомерном анализе для проверки статистических гипотез используются те же статистические критерии, что и в одномерном, но они изменяются с учетом природы многомерных случайных величин. Чаще всего это критерии для проверки параметрических гипотез: t — Стьюдента, F — Фишера, и проверки непараметрических гипотез — c².

1.1.1. Проверка гипотезы о равенстве вектора средних значений заданному вектору