Проверка многомерных статистических гипотез. Проверка гипотезы о равенстве вектора средних значений заданному вектору, страница 18

Рассчитываем элементы обратной матрицы  и вектор оценок коэффициентов регрессии  A.  Определитель матрицы , а обратная матрица равна

и оценку уравнения регрессии  . Получаем

Тогда несмещенная оценка остаточной дисперсии равна

а оценка среднеквадратического отклонения составит

Проверяем на уровне значимости  адекватность уравнения регрессии, т.е. гипотезу . Для этого вычисляем  наблюдаемое значение  F-критерия

По таблице F-распределения для заданного уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы  v₁ = 3   и  v₂ = 7  находим .

Так как , гипотеза отвергается с вероятностью ошибки 0,05. Таким образом, уравнение является значимым, т.е. хотя бы один из рассчитанных коэффициентов регрессии отличен от нуля.

Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем оценку ковариационной матрицы вектора коэффициентов регрессии (A):

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, получаем следующие несмещенные оценки этих дисперсий:

и оценку корреляционной матрицы R_a  с элементами, определяемыми по формуле

, где  — элементы матрицы , стоящие на пересечении j-строки и k-столбца,  j, k = 1,2,3.

Находим оценку корреляционной матрицы R_a

Для проверки значимости отдельных коэффициентов регрессии, т.е. гипотез , где  m= 0,1,2 находим по таблицам F-распределения для  критическое значение

Вычисляем  для каждого из коэффициентов регрессии по формуле

  Подставляя данные, получаем

Так как , то коэффициент регрессии  значимо отличается от нуля. Для коэффициента  выполняется неравенство , поэтому данный коэффициент можно считать незначимым.

3.3. Расчет моделей линейной регрессии на компьютере

Задание 1.Для анализа зависимости уровня средней месячной заработной платы рабочих (Х₁) от стажа (Х₂) и средней производительности труда (Х₃) на промышленном предприятии было проведено обследование 30 рабочих. Полученные результаты представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Номер предприятия	Х1	Х2	Х3	Номер предприятия	Х1	Х2	Х3
1	240	8	37	16	236	5	21
2	280	10	33	17	300	10	40
3	265	15	28	18	248	6	31

Окончание табл. 3.5

Номер предприятия	Х1	Х2	Х3	Номер предприятия	Х1	Х2	Х3
4	350	4	45	19	214	8	28
5	295	12	29	20	280	2	30
6	270	10	38	21	165	4	15
7	180	5	24	22	180	2	17
8	250	7	28	23	315	20	45
9	310	12	34	24	200	7	20
10	345	15	38	25	274	11	37
11	220	6	26	26	194	5	25
12	180	3	18	27	267	18	32
13	175	3	20	28	280	10	45
14	190	6	21	29	320	12	50
15	215	3	29	30	380	18	55