Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 8

Разностная схема – система алгебраических уравнений. Решения и - величины разной природы. Схема, которую будем строить должна сохранять все внутренние свойства исходной задачи.

Сеточная функция и решение дифференциального уравнения - удовлетворяют уравнениям разной природы, поэтому для оценки близости решения разностной задачи (4) к решению непрерывной задачи (3) используем кроме сходимости ещё два понятия: аппроксимации и устойчивости разностной схемы.

Будем говорить, что разностная схема имеет порядок аппроксимации на решении задачи (3), если такое , что выполняется оценка:

, (7)

где и - константы, не зависящие от .

Схема называется устойчивой по начальным условиям и правой части уравнения (5), если такое , что :

, (8)

где , - возмущение правой части и решения. Таким образом, малое изменение исходных данных соответствует малому изменению решения.

Теорема

Если разностная схема (4) устойчива и аппроксимирует задачу (3) с порядком , то решение при сходится к решению (3), т.е. , причём порядок сходимости равен , т.е. имеет место (6).

Доказательство.

Пусть , тогда по определению порядка аппроксимации:

, здесь для имеет место оценка (из (7) следует ), а т.к. - решение возмущённой разностной задачи (схемы) и эта схема устойчива, то получим:

[следует из устойчивости (из (8))] .

Метод Эйлера

1.Пусть дано уравнение (1), (2). Выясним, как получить разностную схему. Выпишем для функции разложение в ряд Тейлора в окрестности точки :

Если хотим ограничиться одним членом разложения, то

, .

Если , получим ,

(3).

Формула (3) – явный метод Эйлера.

В общем виде: ,

Остаточный член характеризует локальную ошибку метода Эйлера, т.е. ошибку на каждом шаге. За шагов работы метода образуется глобальная ошибка.

Замечание. Порядок глобальной ошибки, относительно шага , на единицу меньше, чем порядок локальной ошибки, а именно порядок глобальной ошибки определяет (аппроксимирует) порядок соответствующего разностного уравнения и точного решения задачи Коши. Таким образом, локальная ошибка для метода Эйлера , порядок глобальной - метод Эйлера относится к методам первого порядка.

2. Для полученной схемы Эйлера рассмотрим разностную аппроксимациюпервой производной.

- значение производной в точке подставим в формулу (3), получим разностную схему.

3. Квадратурный способ

В соответствии с теоремой о существовании и единственности исходное дифференциальное уравнение может быть записано в эквивалентной интегральной постановке:

(4).

Построим аппроксимацию для (4), т.е.интеграл заменим некоторыми квадратурными формулами.

Если воспользуемся формулой прямоугольника, с вычисленными значениями в левой точке, то получим соотношение (3).

Модификации метода Эйлера

1. Если в (4) воспользоваться формулой прямоугольника, определённой по правой точке отрезка, то получим следующую модификацию:

(5) - неявный метод Эйлера (тоже имеет первый порядок).

Повысить порядок метода можно, если рассмотреть линейную комбинацию методов (3) и (5):

- метод трапеций.

Методы Рунге-Кутты

Пусть дана задача Коши и пусть правая часть имеет непрерывные частные производные вплоть до -го порядка. Тогда решение будет иметь непрерывные производные вплоть до порядка . Рассмотрим:

Все производные в формуле можно вычислить используя :

где - постоянные коэффициенты; ; - коэффициенты, - шаг дискретизации.

Выбрав шаг , зная коэффициенты ,, можно определить решение в различных точках. Выбор коэффициентов ,, производится таким образом, чтобы разложения и совпадали до возможно более высоких степеней . Этим условиям удовлетворяет