В функциональном пространстве гладких векторных полей на компактном многообразии открытое, всюду плотное множество образует поле, все особые точки которого – невырожденные, т.е. изолированы. Вырожденная точка распадается на невырожденные при сколь угодно малом шевелении поля.
Пусть – фазовое пространство некоторого
физического процесса,
– некоторое начальное состояние
процесса. Обозначим состояние процесса в момент времени
при
начальном состоянии
как
. Таким образом, мы определили для любого вещественного
числа
отображение
. Это
отображение называется отображением за время
.
Фазовым
потоком называется пара , составленная из
множества
(фазовое пространство) и
однопараметрической группы
(группы
преобразований множества
). Другими словами, фазовый
поток – математическая модель некоторого детерминированного процесса.
Пусть - фазовая точка. Рассмотрим отображение
(в наших обозначениях
). Фазовой кривой потока
будет называться образ отображения
, т.е. фазовая кривая – некоторое
подмножество фазового пространства.
Положением
равновесия или неподвижной точкой потока
называется фазовая точка, являющаяся
фазовой кривой, т.е.
.
Фазовой
скоростью потока
в точке
называется
вектор скорости движения фазовой точки
т.е.
векторное поле
на множестве
сопоставляет каждой точке множества
исходящий из этой точки вектор
.
Точка, в которой вектор векторного поля обращается в ноль, называется особой точкой.
Пусть
множество особых точек семейства – гладкая кривая. Значение параметра, которому
соответствует вырожденная особая точка, называется бифуркационным значением
параметра, а сама вырожденная точка в прямом произведении фазового пространства
на ось значений параметра (т.е. точка в -мерном пространстве) называется бифуркационной
точкой.
Рассмотрим
значение параметра как функцию, заданную на кривой
особых точек. Тогда бифуркационные значения параметра – критические значения
этой функции, а бифуркационные точки – критические точки соответствующей
функции (т.е. точки, где дифференциал этой функции равен нулю).
Критическая точка называется невырожденной, если второй дифференциал функции в этой точке не вырожден, а соответствующая бифуркационная точка называется невырожденной бифуркационной точкой.
Бифуркационное значение параметра называется регулярным, если ему соответствует ровно одна невырожденная бифуркационная точка.
Методы теории возмущений................................................................................................................................... 2
Методы теории возмущений................................................................................................................................... 2
Теорема Тихонова..................................................................................................................................................... 6
Уравнения в частных производных первого порядка....................................................................................... 9
Численные методы решения начальной задачи (задачи Коши)................................................................... 14
Метод Эйлера........................................................................................................................................................... 16
Модификации метода Эйлера............................................................................................................................... 16
Методы Рунге-Кутты.............................................................................................................................................. 16
Устойчивость схемы Рунге-Кутты....................................................................................................................... 17
Порядок точности метода Рунге-Кутты............................................................................................................. 18
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.