Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 20

В функциональном пространстве гладких векторных полей на компактном многообразии открытое, всюду плотное множество образует поле, все особые точки которого – невырожденные, т.е. изолированы. Вырожденная точка распадается на невырожденные при сколь угодно малом шевелении поля.

Пусть – фазовое пространство некоторого физического процесса,  – некоторое начальное состояние процесса. Обозначим состояние процесса в момент времени при начальном состоянии как. Таким образом, мы определили для любого вещественного числа  отображение . Это отображение называется отображением за время .

Фазовым потоком называется пара , составленная из множества (фазовое пространство) и однопараметрической группы (группы преобразований множества ). Другими словами, фазовый поток – математическая модель некоторого детерминированного процесса.

Пусть  - фазовая точка. Рассмотрим отображение  (в наших обозначениях ). Фазовой кривой потока будет называться образ отображения , т.е. фазовая кривая – некоторое подмножество фазового пространства.

Положением равновесия или неподвижной точкой потока  называется фазовая точка, являющаяся фазовой кривой, т.е. .

Фазовой скоростью  потока  в точке  называется вектор скорости движения фазовой точки  т.е. векторное поле на множестве  сопоставляет каждой точке множества  исходящий из этой точки вектор .

Точка, в которой вектор векторного поля обращается в ноль, называется особой точкой.

Бифуркационные значения параметра (продолжение)

Пусть множество особых точек семейства – гладкая кривая. Значение параметра, которому соответствует вырожденная особая точка, называется бифуркационным значением параметра, а сама вырожденная точка в прямом произведении фазового пространства на ось значений параметра (т.е. точка в -мерном пространстве) называется бифуркационной точкой.

Рассмотрим значение параметра  как функцию, заданную на кривой особых точек. Тогда бифуркационные значения параметра – критические значения этой функции, а бифуркационные точки – критические точки соответствующей функции (т.е. точки, где дифференциал этой функции равен нулю).

Критическая точка называется невырожденной, если второй дифференциал функции в этой точке не вырожден, а соответствующая бифуркационная точка называется невырожденной бифуркационной точкой.

Бифуркационное значение параметра называется регулярным, если ему соответствует ровно одна невырожденная бифуркационная точка.

Методы теории возмущений................................................................................................................................... 2

Методы теории возмущений................................................................................................................................... 2

Теорема Тихонова..................................................................................................................................................... 6

Уравнения в частных производных первого порядка....................................................................................... 9

Численные методы решения начальной задачи (задачи Коши)................................................................... 14

Метод Эйлера........................................................................................................................................................... 16

Модификации метода Эйлера............................................................................................................................... 16

Методы Рунге-Кутты.............................................................................................................................................. 16

Устойчивость схемы Рунге-Кутты....................................................................................................................... 17

Порядок точности метода Рунге-Кутты............................................................................................................. 18