Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 10

получим:  - локальная погрешность. Локальная погрешность аппроксимации вычисляется на каждом шаге. Глобальная – накапливается в течение всего процесса решения и имеет порядок  на 1 меньше локальной.

, .

Разность погрешности между предсказанным и исправленным значением равна

                             

Обычно действуют так: предполагая, что  на заданном отрезке не меняет знак (всегда можно найти точку, для которой это выполняется), мы получаем, что спрогнозированное и скорректированное значения лежат по разные стороны от истинного значения  на данном шаге, а это дает возможность оценки точности на каждом шаге, т. е. если погрешность велика, то уменьшение шага в 2 раза даст уменьшение погрешности в 8 раз.

Устойчивость метода простого прогноза

Пусть  – аналитическое решение;  – решение, вычисленное по формуле . . Вычтем уравнения:

, где . Обозначим через , . Тогда . Получили разностное уравнение, описывающее поведение погрешности. Применим этот аппарат к формуле . Подставим точное решение в неточную формулу и получим:

                                          

Вычтем из формулу и воспользуемся

                          

                                         

Устойчивость неоднородного уравнения определяется устойчивостью однородного уравнения . Решение будем искать в виде , тогда

,

                                    

Если , тогда ; если , тогда . Т. о.  будет всегда возрастать, т. е. метод простого прогноза неустойчив.

Устойчивость метода простой коррекции

Проделав выкладки, аналогичные выкладкам для простого прогноза получим характеристическое уравнение , решение которого:

                                 

Соответственно, условие устойчивости будет . Аналогичное условие можно получить, если анализировать возмущенность многократного применения метода коррекции на первом шаге вычислительного процесса:

, где 

т. е. процесс будет сходиться  при  (то же самое условие), т. е. тогда, когда  - сжимающий оператор. Добиться этого условия можно выбором шага . Поэтому можно говорить об устойчивости метода коррекции. Для выбранных нами ограничений  прогноз неустойчив, а коррекция устойчива. Выясним, как неустойчивость прогноза влияет на весь вычислительный процесс. Формула описывает поведение  для коррекции.

                                 

Рассмотрим модельное уравнение , . Решение этого уравнения имеет вид , где , а значит это решение будет совпадать с формулой с точностью до .

Т. о. мы получили, что для прогноза решение и погрешность ведут себя одинаково, т. е. мы предъявили слишком жесткие требования к прогнозу, когда потребовали чтобы для устойчивости . Очевидно, что если решение возрастает как геометрическая прогрессия, то погрешность, которая растет с такой же скоростью или медленнее, не обязательно «испортит» решение, т.е. если решение строго возрастающее, то факт, что погрешность также строго возрастает, не важен. Если  и решение строго убывающее со скоростью  ( - номер шага), то ясно, что если погрешность не убывает с такой скоростью, то она будет преобладать в решении начиная с некоторого шага. И даже тот факт, что сама погрешность ограниченна, в случае убывающего решения не помогает. Предыдущий анализ позволяет сделать вывод, что от численного решения ДУ нужно требовать относительную устойчивость, которая определяется как скорость роста погрешности по отношению к росту решения. Если относительная устойчивость по модулю меньше 1 (относительная погрешность определяет относительную устойчивость), то погрешность будет расти не быстрее решения.

Если , то характеристические корни уравнения прогноза будут иметь вид:

;

Если , то повторное применение прогноза на одном и том же шаге дает разумные результаты; если , то  будет увеличиваться по величине и колебаться по знаку, т. е. в данном случае прогноз повторно лучше не применять.

Методы прогноза и коррекции можно разделить на 2 класса: