Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 18

1) система всегда имеет решение и при этом !.

2) элемент  вида , где  – решение системы является элементом наилучшего приближения для элемента u в  среди всех элементов подпространства .

Лемма: Ошибка обобщённого метода Ритца ортогональна в подпространству.

Лемма: Последовательность приближений , построенных по обобщённому методу Ритца сходится к обобщённому решению операторного уравнения и определяет минимум квадратичного функционала энергии .

Реализация обобщённого метода Ритца. Метод Галеркина и проекционные методы.

Получим уравнение классического метода Ритца, выбрав в качестве квадратичного функционала – функционал энергии (8). Рассмотрим три случая:

При , тогда с учетом вида решения  получим:   или формулу (20) можно переписать в виде

При , где  - оператор из линейной оболочки ГП, тогда с учетом вида решения  получим: , или ее можно переписать в виде

При , где положительный самосопряжённый оператор, тогда с учетом вида решения  получим:                              или формулу (24) можно переписать в виде

Для соотношений (20)-(25) можно сказать, что различные модификации метода Ритца для определения обобщённого решения операторного уравнения , отличаются друг от друга в рамках допускаемых предположений о задаче минимизации функционала:

- выбором оператора

- выбором координатных элементов, по которым приближённое решение .

Формулы (21), (23), (25) демонстрируют, что невязка  всегда будет ортогональна некоторому конечномерному подпространству, которое определяется следующим образом: в (21) это , в (23) и (25) – подпространство, которое является линейной оболочкой элементов  и  соответственно. Это свойство позволяет построить следующий формальный алгоритм построения приближённого решения , при условии, что  и необязательно является симметричным.

Пусть, наряду с , определено некоторое подпространство, построенное также, как и подпространство , но по другой системе векторов .

Подставим в элемент  и потребуем, чтобы невязка  была ортогональна подпространству : .

Метод, построенный таким образом, называется методом Галеркина, а система (26) называется системой уравнений метода Галеркина.

Обобщение метода Галеркина.

Пусть  и  - -мерные подпространства , а  - ортопроектор: .  Тогда исходное операторное уравнение можно заменить на

.                (27)

Уравнение (27) – уравнение проекционного метода. Из уравнений (26) и (27) следует, что метод Галеркина – проекционный метод.

При решении соответствующих задач чаще всего используют вариационно-разностные, проекционно – разностные методы, МКЭ. Специфика данных методов заключается в том, что их координатными элементами являются финитные функции, которые построены специальным образом. Матрица СЛАУ – разреженная. Для того, чтобы при увеличении размерности , получить устойчивое решение, необходимо потребовать не ухудшения числа обусловленности при увеличении .

Конечно-разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть дана краевая задача:

Если  - разрывная функция, то будем считать, что для решения и для потока выполняются условия сопряжения:

                   (5)

1.  Вариационная постановка.

- самосопряжённый  положительно определённый оператор. Решение задачи (1)-(5) доставляет минимум функционалу:

и удовлетворяет главным краевым условиям (2).

 - непрерывная функция в области .

Проинтегрируем по частям вариацию (8):                      

Так как , , то:

, где (10) – функционал (9) с учетом главного краевого условия.

, если выполняется (1), (3).

Если  - разрывна и выполнены условия сопряжения (4) и (5), то эти условия естественным образом учитываются в функционале (6). Так как  - предполагается непрерывным, то  - тоже предполагается непрерывной. Данные условия идеального контакта (4), (5) дополнительного учета в функционале (6) не требуют.

2. Дискретизация и интерполяция.

-построение сетки

Введем локальную нумерацию в конечном элементе: .