Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 2

В реализации физических задач, математическая модель которых выписывается в виде обыкновенных ДУ, правые части этих обыкновенных ДУ могут содержать параметры. Значения этих параметров обычно определяются приближенно. Возникает вопрос об изменении решения при малом изменении этих параметров. Если вопрос зависимости решения от малого изменения параметра от задачи Коши решается на неограниченном промежутке , то эта задача решается методами теории устойчивости.

Пусть данa задача:

где - это вектор неизвестных параметров.

Рассмотрим скалярное уравнение:

Пусть функция определена в области :

Пусть также непрерывна в по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по , т.е.

Здесь - одна и та же константа для всех .

При фиксированном на отрезке , где , где .

На этом отрезке, по Т. о и , определена интегральная кривая – решение (3), (4). Меняя , в силу независимости констант и от , мы получаем семейство интегральных кривых на .

Теорема 1

Пусть определена и непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица (5). Тогда решение задачи (3), (4) на непрерывно по для всех .

В задаче (3), (4) будем считать , т.е. исследуем поведение задачи в окрестности нуля. Если же , то заменой можно перейти к рассматриваемому случаю.

2. Регулярные возмущения.

Задача вида (3), (4) называется РЕГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ (параметры находятся в правой части уравнения). На основе теоремы 1 построим приближенное решение (3), (4). Пусть в (3), (4) :

Пусть - решение (5), (6). Из теоремы 1 имеем:

на отрезке

причем при .

Таким образом, - приближенное решение (3), (4); - погрешность приближенного решения и асимптотическая формула (7) позволяет достаточно хорошо описать с помощью при .

Теорема 2.

Пусть в некоторой области функция обладает непрерывными и равномерно ограниченными частными производными по и до порядка включительно. Тогда существует отрезок , на котором для решения (3) справедливо соотношение (7):

, причем при и .

Доказательство:

Соотношение (8) получается следующим образом: представим в виде ряда по степеням . В результате будем иметь:

Подставляя (9) в (3), при этом воспользуемся тем, что правая часть уравнения имеет частные производные по и вплоть до порядка, получаем (разложили правую часть в ряд Тейлора):

Подставим (9) в начальное условие (4). Пусть . Тогда

В последних двух соотношениях приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Получили бесконечную систему ДУ с начальными условиями:

Это соответствует начальным условиям (5), (6) и значит . Далее

Последовательно решая эти задачи, определим (9) – асимптотический ряд или разложения по малому параметру для решения по степеням .

Теорема доказана.

Пример.

(внимание: вероятно нужно сделать замену )

Будем искать решение в виде разложения (9). Определим первые три члена разложения.

После подстановки в исходное уравнение будем иметь:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

Решив эти уравнения, мы найдем интересующие нас члены разложения (9).

3. Сингулярные возмущения.

В различных приложениях достаточно часто встречаются задачи, к которым теория регулярных возмущений не применима.

Пусть дана задача:

Положим . Получаем уравнение более низкого порядка и для решения нам понадобится одно начальное условие. Мы не можем учесть все факторы, определяемые (1). И вблизи точки мы не получим нужного решения уравнения (1). Сделаем замену переменных:

Тогда

Если эти условия удовлетворяют теореме 2, то решение можно искать в виде асимптотического разложения. Для функции условия теоремы 2 нарушаются, так как эта функция терпит разрыв при .