Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 4

Применим второе уравнение из системы (5) в виде:

Согласно первому пункту теоремы, величины  и  будут сколь угодно малыми при малом . Соответственно,   тоже будет сколь угодно малым при достаточно малом  и при  из окрестности .

3.  Покажем, что при неравенство (13) выполняется  и не существует такой точки , для которой это неравенство обращается в равенство. Предположим противное. Пусть при  выполняется равенство , и рассмотрим вспомогательную функцию . В силу предположения вычислим .

.

.

Поскольку правая часть , то это значит, что знак выражения в фигурных скобках при достаточно малых  определяются знаком , и, следовательно, в силу малости  знаком выражения . Т.е. знак всего выражения  будет определятся знаком функции , а из условий 3)-4) теоремы следует, что (устойчивый корень), а значит, . Полученное противоречие и доказывает теорему.◄

Замечание: из доказательства теоремы следует, что предельный переход  будет равномерным на этом отрезке, а предельный переход  нет.

В окрестности  точки  существует область, в которой  - компонента решения задачи (5)-(6) сильно отличается от  - компоненты вырожденной задачи, т.е. от устойчивого корня . Такая область называется пограничным слоем. На основе теоремы Тихонова можно выписать следующее асимптотическое представление для задачи (5)-(6)

Данные асимптотического разложения будут кроме степенных (регулярных) членов содержать некоторые функции (пограничные члены), зависящие от  нестепенным образом. Эти члены ряда, отличные от нуля, в окрестности точки  и с ростом   быстро убывают.

Рассмотрим как ряд со степенями , но с коэффициентами, зависящими от .

Сделав в (5) замену , получим систему (9), а теперь подставим (9) в (5), при этом умножив на .

Правую часть системы (16) представим в виде:

Получаем бесконечную систему ДУ, приравняв в системе (16) коэффициенты при одинаковых степенях , причем отдельно для регулярного  и сингулярного ряда.

Аналогично для .

Решением первого  уравнения является - устойчивый корень. Решением последнего будет . Но нам известно, что при  .

Получаем, что

Начальные условия получены. Для  решаем аналогично.

Уравнения в частных производных первого порядка

                                     (1)

              (2)

(1)  – уравнение в ч.п. первого порядка

(2)  – квазилинейное уравнение

Линейные уравнения первого порядка

Пусть  икоэффициенты уравнения (1)  не обращаются в ноль одновременно в любой точке области G.

Решением уравнения (1) будем называть любую функцию, которая имеет частные производные по всем переменным   и которая обращает уравнение (1) в тождество.

Геометрически решение задачи (1) можно интерпретировать как поверхность в пространстве  и которая называется интегральной поверхностью.

Рассмотрим двумерную задачу

        (3)

Выражение в левой части можно интерпретировать как скалярное произведение  некоторого векторного поля (A(x,y),B(x,y)) и grad u(x,y). Таким образом, (3) означает, что производная u по направлению вектора  равна 0. Обозначим через -кривую на плоскости xy, которая обладает следующими свойством: касательный вектор этой кривой коллинеарен вектору.

Тогда параметрическое представление кривой  будет иметь вид:

         (4)

Фазовые траектории системы (4), которые называются интегральными кривыми, можно записать в виде

         (5)

эти уравнения называются характеристиками дифференциального уравнения в частных производных (3). Обычно они записываются в форме

          (6)

В силу того, что , через каждую точку области G проходит одна и только одна характеристика. Пусть u(x,y)- решение (3) или интегральная поверхность (3).

u(x,y)=u(x(t),y(t))

Значит, производная  получим, что  (из (3)), значит u от t не зависит, т.е. характеристика является линией уровня интегральной поверхности.

Рассмотрим кривую , не совпадающую с характеристикой.

Через каждую точку области можно провести характеристику.