Методы теории возмущений. Бифуркации., страница 15

                                                                                                     

Учет третьих краевых условий

Пусть в задаче заданы краевые условия:

                                                                                             

                                                                                               

Аппроксимируем на  консервативной схемой:

                                                                

Поскольку центральная разность для полуцелой точки является правой разностью для целой (), то:

                                                                    

Т.о. разностная схема с краевыми условиями , имеет 2-ой порядок аппроксимации.

Вариационные методы решения ОДУ

Рассмотрим функционал от :

                                             

Для , определенной на   принимает некоторое значение.

Рассмотрим задачу: определить кривую , которая проходит через  и  и минимизирует функционал . Пусть  известная функция.

Пусть , . Рассмотрим  - удовлетворяет тем же краевым условиям, что и  и . Тогда . Это значит, что  можно рассматривать как скалярную функцию от . Рассмотрим :   – условие минимума. Распишем в явном виде:

где-вариация функционала.

Если функционал минимизирован.

          

Определение: Уравнения, которым удовлетворяют экстремальные кривые (1.4), называются уравнениями Эйлера для данной вариационной задачи.

Если решения уравнения доставляют абсолютный минимум уравнению .

Пусть  - решение , а - функция, удовлетворяющая тем же краевым условиям, что и . Определим , . Оценим приращение :

т.е. при заданных ограничениях функция  доставляет абсолютный минимум функционалу .

Учет краевых условий II и III рода

Рассмотрим задачу об определении минимума функционала . Не налагая никаких ограничений на  - при так называемых естественных условиях. Ход рассуждений остается тем же, но мы не можем воспользоваться условием . Тогда при взятии интеграла по частям:Тогда .

 при

Чтобы учесть краевые условия, перепишем функционал в виде:

              

Если для аналогично вычислить , то мы получим, что минимум  достигается при решении уравнения с краевыми условиями:

Нормированные и банаховы пространства

Линейное пространство  называется НОРМИРОВАННЫМ, если на множестве его элементов определена вещественная функция-норма , которая удовлетворяет следующим аксиомам:

Замечания

1. Если на элементах множества  определена функция нормы, которая удовлетворяет только 1-й и 3-й аксиомам, то такое пространство называют полунормированным, а саму функцию - полунормой.
2. В нормированном пространстве
3. Сходимость в нормированном пространстве будет сходимостью по норме

Нормированное пространство X называется СТРОГО НОРМИРОВАННЫМ, если в 3-ей аксиоме равенство возможно только для

Лемма

Для того чтобы норма в пространстве  была строго выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы пространство  было строго нормированным.

На одном и том же пространстве можно ввести несколько норм.

Полное нормированное пространство называется БАНАХОВЫМ.

Лемма

В банаховом пространстве из абсолютной сходимости ряда следует обычная сходимость, причем справедливо:

Система  в банаховом пространстве , где  принадлежит некоторому счетному множеству, называется полной в этом пространстве, если замыкание ее линейной оболочки этой системы совпадает со всем пространством.

Последовательность элементов  из банахова пространства B называется базисом, если для любого элемента  существует и при том единственная последовательность чисел , такая что    (1).

Лемма: Если система  образует базис, то эта система будет полной и линейно независимой.

Пространства со скалярным произведением.

Пространство  со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порождаемой этим скалярным произведением.

Лемма: Гильбертово пространство является строго нормированным.