Учебная тетрадь по теме «Четырехугольник» как средство реализации решения учебной проблемы, страница 29

Представленные готовые утверждения служат базой для построения утверждений учениками.

Утверждение 1г) задает общий способ построения утверждения и выступает достаточным условием для формулирования утверждения 1т).

 Для формулирования утверждения 2т) в качестве материальной базы представлены утверждения 5г), 6г) и 7г). А утверждения 2г) и 3г) задают способ построения обратного утверждения.

Утверждение 3т) однозначно не может быть сформулировано учеником. Лишь выделение импликации из уже представленных утверждений позволит ученику правильно сформулировать обратное утверждение. 

На рисунке уровни и усложнение предметной линии будет выглядеть следующим образом.

 

                     2ур

             

             1ур        2        3                

рис.2.2

Первый уровень данной предметной линии подразумевает преобразование готового утверждения. На втором уровне явно не указано преобразование утверждения, необходимо самому подобрать основу.

3.2.4 Предметно-деятельностная линия доказательств

Доказательства в учебной тетради открыто не предлагаются ученику. Способы и изложение доказательств полно представлены в учебнике. В тетради ученику необходимо полностью выстраивать ход доказательства.  Основу для выполнения такого задания ученикам дают базовая идея и теоретический факт. Базовая идея подразумевает под собой элементы дополнительных построений и направление их использования для доказательства. В связи  с развитием материала в дальнейшем какой-то из элементов ученику уже не сообщается.

В учебной тетради ученик должен провести доказательство шести теоретических фактов:

1) показать верность следствия одного утверждения, связанного с параллелограммом, из другого или его опровержение приведя контрпример;

2) средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме;

3) диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

4) диагонали прямоугольника равны;

5) диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам;

6) четырехугольник, у которого диагонали являются биссектрисами его углов, является ромбом.

Рассмотрим данную  предметно-деятельностную линию, выделим в ней уровни и этапы усложнения. Первый и самый простой уровень возникает, когда доказательства как такового и не требуется. На вопрос о следовании одного утверждения из другого достаточно привести пример или контрпример (см. 1).

Второй уровень в данной предметной линии можно охарактеризовать следующим образом: ученику сообщается базовая идея, т.е. теоретический факт и идея его применения (см. 2). Ученик должен самостоятельно изложить ход рассуждения, ввести буквенное обозначение вершин и провести работу с построением доказательства. Так при доказательстве теоремы о средней линии трапеции ученику предлагается провести диагональ и рассмотреть получившиеся треугольники, а так же вспомнить все, что им известно о средней линии треугольника. Усложнением на втором уровне является  доказательство свойства диагоналей параллелограмма:  идея доказательства дается ученику через буквенную символику отношений, которую он должен пояснить и обосновать (см. 3).

При доказательстве свойства диагоналей прямоугольника ученику сообщается только теоретический факт без идеи его применения. Это задает новый  третий  уровень организации материала.

Доказательство свойств диагоналей ромба построено по такому же принципу, что и доказательство свойства параллелограмма.

Шестое доказательство выступает усложнением доказательства свойств диагоналей прямоугольника. Для построения доказательства ученику предоставляется теоретический факт: использовать свойство равнобедренного треугольника. Не сообщается идея применения данного факта, а так же  каким именно свойством равнобедренного треугольника нужно воспользоваться.