Учебная тетрадь по теме «Четырехугольник» как средство реализации решения учебной проблемы, страница 28

3.2.3 Предметно– деятельностная линия утверждений

Предметная линия утверждений представлена в учебной тетради двумя типами: готовые утверждения и утверждения, которые необходимо  сформулировать самому ученику.

Утверждения, сформулированные авторами, задают собой способ организации и построения, который, подразумевается, и будет усвоен. Главное, что должен выделить ученик, это наличие в утверждении двух фигур и их связь (А®В). Это реализуется следующим образом: сначала ученику формулируется утверждение, а затем он должен сам сформулировать подобное утверждение. Для этого ему предлагается нарисовать конкретную фигуру, если нужно, сделать дополнительные построения, которые будут являться основной идеей при формулировании утверждения. 

Утверждение первого типа можно зафиксировать уже в начале первого пункта: любая замкнутая четырехзвенная ломаная есть либо четырехугольник, либо обобщенный четырехугольник. Запишем его в символах математической логики: (АÞВ) Ù (АÞС). Для основного курса обучения методом учебно-предметных проблем ни какой работы с данным утверждением не предусмотрено. Работу, нацеленную на  доказательство данного утверждения, предлагается проделать лишь в «задании для любознательных», предназначенном для углубленного изучения математики.

Далее ученик проводит исследование, а возвращение к линии утверждений, и ее усложнение происходит во втором параграфе. Ученику прямо формулируется обратное утверждение к тому, которое предлагается до этого сформулировать ему самому. Оно звучит следующим образом: если углы четырехугольника при боковой стороне равны 180º, то этот четырехугольник трапеция. В логической интерпретации выглядит это следующим образом: (DÞЕ). А также  отрицание обратного: если углы при боковой стороне четырехугольной фигуры не равны 180º, то данная фигура не является простой трапецией. Т.е. символика будет представлять собой (ØЕÞØD).

Следующим уровнем усложнения в рассматриваемой  предметной линии утверждений,  можно выделить объединение двух утверждений. Во втором пункте второго параграфа появляется утверждение типа: АÞ(ВÚС), а также построение обратного к данному утверждения в виде вопроса: “Является ли данное утверждение обратным” (далее предлагается вариант). В данной линии также осуществляется переход и на второй уровень. Новый уровень сложности представлен утверждением вида, где явно не выделены А и В в логической символике АÞВ: “Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам”. Построение утверждения обратного к данному требует больших усилий  от ученика. Под явной формулировкой утверждения мы понимаем логические конструкции вида:

-  «если …, то…»;

-  «любая…является…».

Следовательно, не явным утверждением будет такое где, одна из геометрических фигур скрыта и может быть выделена лишь при анализе логической схемы импликации А®В.

Подведем итог. Для развития данной предметной линии в тетради представлены семь готовых утверждения:

1г) любая замкнутая четырехзвенная ломаная является либо четырехугольником, либо обобщенным четырехугольником;

2г) если углы четырехугольника при боковой стороне равны 180º, то этот четырехугольник трапеция

3г) если углы при боковой стороне четырехугольной фигуры не равны 180º, то данная фигура не является простой трапецией;

4г)  диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

5г)  любой параллелограмм является трапецией с равными боковыми сторонами и трапецией с равными основаниями;

6г) любая равнобокая трапеция является параллелограммом;

7г) любая трапеция с равными основаниями является  параллелограммом.

Также три утверждения, рассматриваемые как импликация, предлагается сформулировать ученику:

1т) углы трапеции при боковой стороне равны 180°;

2т) утверждения 6г) и 7г) не являются обратными к 5г);

3т) построение однозначного утверждения обратного 4г) невозможно.