Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Моделирование технологических процессов в рыбоводстве", страница 9

Из (3.10) следует также, что функция  f(x) преобразует (отображает) отрезок [0, 1] в отрезок [0, l’/4]. Все значения последовательности {x_t}= {f(x_t)} будут принадлежать отрезку [0, 1], при условии, что 0 ≤ x₀ ≤ 1. Поэтому функцию f(x) называют отображением отрезка в себя или просто отображением. Отображение отрезка в себя посредством формулы (3.12) задаёт и функция  f ²(x) , описывая более «тонкие», чем f(x), детали динамики сходимости численного решения.

При l’ ≤3, устойчивость последовательности (3.10),  гарантируется неравенством

которое является условием устойчивости решения x* = f(x*) для первой неподвижной точки. Применительно к популяции это означает, что численность с течением времени непременно стабилизируется и не будет меняться со временем.

При l’ >3, последовательность, генерируемая выражением (3.10) не сходится, а начинает циклически повторяться. Говорят, что функция f(x) порождает цикл порядка n, если найдутся числа x₁, x₂, …, x_t , такие, что

В рассмотренном выше случае, при l’ ≤ 3, неподвижная точка – это цикл длины 1 или цикл первого порядка. При дальнейшем увеличении параметра l’ и при  l’ > 3 в последовательности вначале появится цикл второго порядка, когда начиная с достаточно больших t будут чередоваться два числа. Про значение l’ =3 говорят, что это точка бифуркации удвоения периода. Это означает, что численность популяции начинает колебаться с периодом двое суток. При продолжении увеличения параметра l’  возникнет цикл длины 4, затем цикл длины 8 и т. д.  Каждый раз при этом происходит бифуркация удвоения периода. При этом любая точка a входит в цикл n-го порядка, если f ⁿ(a)=а.

Очередной цикл, порождаемый функцией (3.10), будет притягивающим, когда при любом начальном значении x₀ последовательность {f ⁿ (x_t)} приближается к точкам цикла.  В этом случае его называют аттрактором (от англ. to attract – притягивать). Иначе цикл называют отталкивающим.

Аналогично (3.13) существует условие для определения устойчивости всех неподвижных точек  x*  отображения  f ⁿ (x)  [1, 5]

являющееся условием устойчивости цикла любого порядка, то есть является ли аттрактором цикл порядка n. В выражении (3.15) значение последовательности {f (x_t)} одновременно является точкой цикла (x_t = a_t).

При определённых условиях (начиная со значения параметра l’=l’_∞≈3.57) последовательность точек в цикле может не повторяться и тогда {f (x_t)} превращается в хаотическую (псевдослучайную) последовательность, а аттрактор, притягивающий эту последовательность, называют «странным аттрактором». Наиболее интересные эффекты в модели Ферхюльста  начинаются в режиме псевдослучайности [1, 5, 7]. Однако нам пока более чем достаточно изложенного выше для значений параметра l’ < l’_∞.