Промышленность \ Моделирование технологических процессов в рыбоводстве

Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Моделирование технологических процессов в рыбоводстве", страница 8

Имеется решение для (3.6) в элементарных функциях

x(t) = 1/[1+e-l’ ·t · (1- x0) / x0] ,

(3.8)

где x0 - численность популяции в момент времени t = t0.

Для исследования решений уравнения (3.6) используется численное интегрирование. При малых dt можно принять

xt+1= xt+Dx.

(3.9)

Для неперекрывающихся во времени популяций, (3.9) можно записать в виде

xt+1= f (x, l’  )= l’  · xt·(1- xt).

(3.10)

Выражение (3.10) называют разностным логистическим уравнением. Свойства этого уравнения используются для численного исследования сходимости и устойчивости стационарных состояний решения (3.8). Малые члены, содержащие (Dxt)2, (Dxt)3 и т.д. не учитываются и (3.10) может служить хорошим приближением для решений исходного дифференциального уравнения (3.6) при l’ ≤ 3. При l’  > 3 появляется необходимость учитывать малые члены. Это можно делать, используя свойство логистических решений

f n(xt) = f(f(…f(xt)…)

(3.11)

где в правой части функция вычисляется n раз. Например, функция  f 2(x) будет иметь вид:

f 2(xt, l’ )= f [f (xt, l’ ),l’ ] = l’ · f (xt,l’ )·[1-f (xt,l’ )] =l’ ·[l’ ·xt·(1- xt)]·[1-l’ ·xt·(1- xt)].

(3.12)

Свойств выражений (3.11) и (3.12) достаточно для установления поведения динамики численности, описываемой уравнением (3.6), для значений l’ , не превышающих l’ ≈ 3.45. Задавая начальное значение x0 формируется последовательность {xt}= {f(xt)}:  xt =  x1, x2, …, xt. Здесь аргумент t будем считать временем в сутках. Задача анализа – выяснить характер динамики численности популяции при t ® ¥,  и при различных значениях l’. Если последовательность при достаточно большом t сходится, то непременно к корню x* уравнения (3.6). Обратное также справедливо: если в некоторой окрестности корня x* функция  f(x) имеет производную, не превосходящую по модулю единицу, то сформированная последовательность сходится к x* при x0, достаточно близком к x*.

Корни x* уравнения (3.6) называются неподвижными точками функции f(x). Корни  при l’≤3 легко определить, генерируя последовательность {xt} с помощью  (3.10).  Такой способ определения корней известен как метод простых итераций.

Скачать файл