Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Моделирование технологических процессов в рыбоводстве", страница 12

Приведём ещё один простой пример использования логистических уравнений, демонстрирующий возможность моделирования стохастических свойств популяций, возникающих задолго до упоминаемого выше режима псевдостохастичности (l’ < l’_∞) при малых случайных возмущениях удельной скорости роста l’.

Возьмём последовательность со сверхустойчивым циклом 2 (l’ = 1+≈ 3.24) и зададим мультипликативные случайные возмущения управляющего параметра

где ξ_t – равномерно распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием (=0) и размахом  ∆_ξ= 0.13 (s_ξ » 0.0375).

С помощью диаграммы на рис.3.1в можно убедиться, что для  значений =0 и ∆_ξ=0.13 параметр l*_t не будет достигать критических значений, при которых возникают бифуркации. Можно показать, что генерируемуя последовательность может быть описана дискретной моделью авторегрессии невысокого порядка, а при уменьшении размаха возмущений ξ_t  порядок модели быстро уменьшается до первого и наша последовательность хорошо описывается простой марковской последовательностью.

На рис. 3.2а показана сгенерированная таким образом последовательность до (пунктир) и после (сплошная линия) введения возмущений. На рис.3.2б та же последовательность показана после взятия первых разностей от предварительно прологарифмированной исходной последовательности. Этот метод часто используется для стационаризации случайных последовательностей [4]. Такой эффект логарифмирования и взятия первой разности в нашем случае нетрудно объяснить, рассмотрев свойства решения (3.8).

На рис. 3.2в,г показаны графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций последовательности, показанной на рис. 3.2б.

Рис. 3.2. Графики исходных последовательностей (а), после логарифмирования и взятия первых разностей (б), автокорреляционной (в) и частной автокорреляционной функций(г).

Авторегрессионные модели широко используются для анализа и прогноза последовательностей рассмотренного типа [4]. Эксперименты показывают, что с помощью авторегрессионных моделей удаётся описать генерируемую описанным выше способом случайную составляющую колебаний численности и получать статистически значимые прогностические оценки на два временных интервала (на двое суток в нашем случае).

Приведём, далее, пример подбора оптимальных в некотором смысле параметров логистических моделей по натурным данным, полученным студенткой 5 курса КМТИ Скляренко Светланой в период практики в ИНБЮМе летом 2005 года.

В табл.3.2 приведены результаты лабораторного эксперимента с популяцией Spirulina platensis (Nordst.)  в системе типа «хемостат». Эксперимент проводился по методике, изложенной в работе [8]. Знаком «+» отмечены дни, в которые производился отбор некоторого количества биомассы (далее для краткости - вылов). Выловы начинались сразу после окончания переходного режима и  установления биомассы на некотором постоянном (установившемся) уровне. Обычно выловы выполнялись примерно в течение одного часа после контрольного измерения биомассы. Сразу же после вылова проводилось измерение оставшегося объёма биомассы. Цель лабораторного эксперимента состояла в определении величин вылова для получения максимально возможного урожая при сохранении некоторого уровня биомассы популяции в течение запланированного срока. Величина первого вылова должна быть такой, чтобы биомасса популяции в хемостате уменьшилась до уровня, при котором скорость роста биомассы является максимальной. Тем самым должна была обеспечиваться наибольшая скорость восстановления популяции при  последующих ежесуточных выловах. Путём экспериментов была определена  величина первого вылова и примерные величины последующих ежесуточных выловов, при которых объём урожая оказался наибольшим.