Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Моделирование технологических процессов в рыбоводстве", страница 14

По данным табл. 2. легко вычислить результаты лабораторного эксперимента:  всего урожая (H = 2.824 г/л); первого вылова (c= 0.8733 г/л) и средней величины последующих выловов (∆x_c=0.24425 г/л).

Для построения модели использовано численное логистическое уравнение (3.10). По данным табл. 3.2 подобирались параметры модели и затем, имея модель, определялись оптимальные объёмы вылова для двух вариантов: 1) когда популяция существует в течение ограниченного времени (далее - сезона); 2) когда популяция  существует в течение неограниченного времени. Таким образом, применимость модели можно проверить,  сравнив результаты лабораторных и численных экспериментов.

Формально подбор управляющего параметра l  можно осуществить применив часто используемый в таких случаях линейный метод наименьших квадратов с предварительным «спрямлением» исходных данных. Для «спрямления» можно использовать решение (3.8) логистического уравнения путём преобразования в линейное относительно неизвестных коэффициентов для определения этих коэффициентов линейным методом наименьших квадратов. Однако, такой метод даёт смещённые оценки, часто не имеющие физического смысла. Для подбора l лучше подходят методы, когда с помощью нелинейной по подбираемым параметрам итерационной процедуры ищется минимум целевой функции, в качестве которой можно использовать сумму квадратов отклонений

где  - наблюдение из табл. 3.2; 

       - значение, вычисленнное с помощью выражения (3.8).

Следует заметить, что использованием простой целевой фунции (3.22) для логистик обеспечивается часто используемый в биологии принцип минимизации затрат энергии моделируемой популяцией [9].

Нелинейную итерационную процедуру  подбора параметров с использованием целевой функции (3.22) часто называют нелинейным методом наименьших квадратов (НМНК), который легко может быть реализован, например, с помощью MS Excel (надстройка «Поиск решения», любой из методов: квахиньютоновский или сопряженных градиентов). Вообще говоря, НМНК  для нашей задачи несложно реализовать в виде  упрощённой итерационной процедуры с использованием простых средств программирования, описанных в [3]. Упрощение возможно за счёт дифференцируемости и выпуклости целевой функции (3.22).

На рис. 3.3а показан график хода экспериментальных данных из табл. 32 и график логистической функции с подобранным параметром l. Для подбора использовались данные за первые 13 суток (n = 13), не неискажённые сбором урожая, то есть столько наблюдений, сколько мы использовали бы при подборе параметров с помощью линейного мнк. Предварительно значения аргумента переведены в часы. Кроме параметра l подбирались также начальное значение x₀ и потолок численности N. Следует сказать, что подбираемая таким образом логистическая функция существенно точнее и реалистичнее той, которую мы сможем подобрать с помощью упоминаемого выше линейного МНК.