Ответы на экзаменационные вопросы (теория информации, линейные системы), страница 35

32. Дискретные эквиваленты интеграла Дюамеля.

Общий подход моделирования непрерывных линейных динамических систем (ЛДС) с постоянными параметрами основан на использовании интеграла Дюамеля.

y(t) = x(t) * h(t) = , (1.1.), где h(t) - импульсная переходная характеристика; x(t) - сигнал на входе ЛДС;  y(t) - сигнал на выходе ЛДС;

Знак *- операция свертки. Формула (1.1) называется сверткой для физически реализуемых систем h(t) = 0 при t < 0.

Пусть Т - время памяти ЛДС. Тогда в зависимости от величины отношения  можно модифицировать (1.1).

1.  При t > T h(t) = 0             y(t) =     (1.2)

2.  Если t < T  y(t) =          (1.3)

При получении дискретного эквивалента интеграла Дюамеля непрерывный интеграл заменяется суммой. Если t достаточно мало, то выходные реакции линейных динамических систем можно получить по методу прямоугольников, заменяя непрерывную подынтегральную функцию кусочно-непрерывной кривой. Дискретизация формул (1.2) и (1.3) дает следующие дискретные эквиваленты.

y(n = x{(n-k)    (1.4)

y(n =         (1.5)                где N = T/t,  =

При моделировании при помощи формул (1.4) и (1.5) целесообразно переходить к относительному времени. Пример: Пусть h(t) =  Вводя = , получим, например, для (1.4) y[n] =  e^-K x (n-k), где y[n] = y[Dtn].

Переход к относительному времени позволяет сократить затраты времени на расчеты на ЭВМ при моделировании динамических линейных систем с различными постоянными времени.

Существует большое число методов численного интегрирования, обеспечивающих более высокую точность, чем метод прямоугольников. К ним относятся метод трапеций и метод Симпсона. Например при методе трапеций формулы (1.4.) и (1.5) принимают вид:

y[n] = ,                        (1.6)                y[n] = ,                        (1.7)

где c[k] = ,  = 1,2,2,...,2,2,1

Если же применяется метод Симпсона, то число N в (1.6) берется четным, а коэффициенты =,  = 1, 4, 2, 4, ..., 2, 4, Аппроксимация по способу прямоугольников осуществляется без погрешности, если h(t) и x(t) имеют финитные (ограниченные) по частоте спектры. Алгоритмы моделирования ЛДС, основанные на вычислении сумм, - универсальны, не требуют большой подготовительной работы. Однако, их эффективность (по временным затратам) резко снижается при увеличении объема выборки, что хорошо видно из (1.6) и (1.7) .

33. Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов.