Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 8

                                                                  .                        (11.4)

Подставим уравнения (11.2-11.4) в (11.1):

                            .                                                                                (11.5)

Теперь запишем уравнение по закону Ома для эквивалентной ветви (Рис. 11.1 б):

                                                                  .           (11.6)

Из сравнения (11.6) и (11.5) очевидны соотношения для параметров эквивалентной цепи:

                                                                  ,           (11.7)

                                                        . (11.8)

Обобщим формулы (11.7) и (11.8) на произвольное количество параллельных ветвей.

Итак, параллельные ветви с источниками энергии можно заменить одной эквивалентной ветвью, содержащей последовательно включенные сопротивление и ЭДС. При этом проводимость эквивалентной ветви равна арифметической сумме проводимостей всех ветвей:

                                                                         .                  (11.9)

Эквивалентная ЭДС равна дроби, в знаменателе которой – сумма проводимостей всех ветвей (как активных, так и пассивных). В числителе – алгебраическая сумма источников тока плюс алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость своей ветви:

                                                            .   (11.10)

где      p – число ветвей с ЭДС;

            k – число ветвей с источниками тока;

            n – число всех ветвей.

В выражении (11.10) с плюсом берутся те ЭДС и источники тока, которые совпадают по направлению с эквивалентной ЭДС, с минусом – противоположные.

Пример 11.1: Найти ток I₃ (Рис. 11.2).

Рис. 11.2

Исходную цепь преобразуем, свернув две активные ветви в одну эквивалентную. При этом ветвь с током I₃ преобразованию не подвергнется, а значит, не изменится ток в ней (Рис. 11.3):

Рис. 11.3

Параметры эквивалентной ветви:

.

Очевидно, что в преобразованной схеме (Рис. 11.3) ток I₃ легко определяется по закону Ома:

.

12. ВЫНЕСЕНИЕ ЭДС И ИСТОЧНИКА ТОКА ИЗ ВЕТВИ

В сложной цепи имеется ветвь с нулевым сопротивлением и идеальной ЭДС (Рис. 12.1).

Рис. 12.1

Требуется преобразовать цепь таким образом, чтобы в ней не было ветви с нулевым сопротивлением. Сделать это можно, удалив ЭДС E из ветви. Тогда потенциалы узлов d и o будут равны, эти узлы можно будет объединить и ветвь с нулевым сопротивлением исчезнет.

Идеальная ЭДС E располагается между узлами d и o. Добавим во все ветви, примыкающие к узлу o, такие же ЭДС E, но направленные не к узлу, а от узла (Рис. 12.2). Очевидно, что при этом изменится потенциал узла o, но потенциалы узлов a, b, c и d останутся неизменными.

Рис. 12.2

Теперь в ветви с нулевым сопротивлением имеются две равные и противоположно направленные ЭДС. Они компенсируют друг друга, и их можно удалить из ветви (Рис. 12.3).

Рис. 12.3

Узлы, соединенные ветвью с нулевым сопротивлением, не содержащей ЭДС, можно объединить. Новый узел будет иметь тот же потенциал, что и у узла d до преобразования. Таким образом, из схемы исключена ветвь с нулевым сопротивлением и узел o (Рис. 12.4).

Рис. 12.4

Такая операция называется вынесением ЭДС из ветви за узел. При вынесении ЭДС из ветви за узел вместо исходной ЭДС появляются точно такие же ЭДС в остальных ветвях, примыкающих к узлу, но ориентированные противоположно (если исходная ЭДС была направлена к узлу, то ЭДС в эквивалентной схеме направлены от узла, и наоборот).

Заметим, что вынесение ЭДС из ветви за узел применимо к любым ветвям, а не только к ветвям с нулевым сопротивлением.

Для вынесения источника тока из ветви достаточно включить точно такие же источники тока параллельно другим ветвям, но так, чтобы не изменилось токораспределение в схеме.

Пример 12.1:

Вынести из ветви источник тока (Рис. 12.5).

Рис. 12.5

Ток источника J_k вытекает из узла c и втекает в узел d. Значит, и в преобразованной схеме ток J_k должен вытекать из узла c и втекать в узел d (Рис. 12.6).

Рис. 12.6

Но если, например, в узел a будет втекать ток J_k и одновременно вытекать ток J_k (Рис. 12.7), распределение токов в схеме не изменится.

Рис. 12.7

Вышеприведенные рассуждения позволяют нам включить два источника тока параллельно ветвям с резисторами R₁ и R₃ (Рис. 12.8).

Рис. 12.8

13. МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

Для расчета токов в электрической цепи достаточно знать потенциалы всех узлов. Тогда с помощью закона Ома можно найти токи.

Рис. 13.1

Электрическая цепь – это система ветвей, соединенных друг с другом узлами. Каждая ветвь упирается своими концами в два узла. Справедливо и обратное утверждение: любые два узла цепи соединяются друг с другом ветвью. Это утверждение поможет нам разработать алгоритм определения потенциалов узлов.

Представим задачу в наиболее общем виде. Пусть в узле n соединяется множество ветвей. При этом каждая ветвь на своем противоположном конце также заканчивается узлом (Рис. 13.1).

Все ветви цепи можно условно разбить на три группы.

Первая – ветви, содержащие ЭДС и обладающие конечной проводимостью. Заметим, что к этой же группе можно отнести ветви с конечной проводимостью без ЭДС. Такие ветви будем обозначать индексом i (Рис. 13.2 а).

Рис. 13.2

Вторая – ветви, содержащие источники тока. Проводимость этих ветвей равна нулю. Такие ветви будем обозначать индексом k (Рис. 13.2 б).

Третья – ветви с ЭДС и нулевым сопротивлением. Проводимость этих ветвей бесконечно велика. Как было показано выше, такие ветви всегда можно устранить из схемы путем вынесения ЭДС из ветви за узел. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать цепь, в которой нет ветвей с ЭДС и нулевым сопротивлением.

Пусть в узле n соединяются i‑ые и k‑ые ветви. Обозначим узлы, противоположные узлу n, индексами i и k (Рис. 13.3). Само собой разумеется, количество i‑ых и k‑ых ветвей может быть каким угодно.