Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 15

Полупроизведение амплитуд напряжения и тока, без сомнения, равно произведению их действующих значений:

.

Тогда (19.4) будет выглядеть так:

                                              .                                                                                (19.5)

Преобразуем косинус суммы углов, используя формулу:

.

      .                                                                                (19.6)

На Рис. 19.2 показаны кривые  и . Мощность  – это мощность полезной работы, мощность  – это мощность электромагнитного обмена между источником и приемником энергии.

Рис. 19.2

Для оценки мощности требуются не мгновенные, а интегральные величины. В качестве таковых используются активная и реактивная мощность.

Под активной мощностью понимают среднее за период значение мощности полезной работы:

                                                             .     (19.7)

Под реактивной мощностью понимают максимальное значение, которого может достигать мощность электромагнитного обмена:

                                                                         .                  (19.8)

На резисторе (Рис. 19.3) напряжение и ток совпадают по фазе и угол  равен нулю. Следовательно, равна нулю и реактивная мощность. Поэтому резистор часто называют активным сопротивлением.

Рис. 19.5

Следует понимать, что знаки плюс и минус не означают направления или количественного значения реактивной мощности, так как мощность по своей физической природе – величина скалярная. Знак реактивной мощности показывает лишь положение фазы напряжения по отношению к фазе тока. Именно поэтому различают индуктивную и емкостную реактивную мощность.

Если напряжение опережает ток, говорят, что реактивная мощность и  имеют индуктивный характер. Если напряжение отстает от тока, говорят, что реактивная мощность и  имеют емкостной характер.

Для цепей переменного тока необходимо составлять два баланса: баланс активной и баланс реактивной мощности.

Баланс активной мощности:

                                               .                                                                                (19.9)

Баланс реактивной мощности:

                                               .                                                                               (19.10)

Следует иметь в виду, что при составлении баланса реактивной мощности в правой части выражения (19.10) необходимо учитывать знак мощности: индуктивная мощность имеет знак плюс, емкостная – минус.

Помимо активной и реактивной мощности широко используется такое понятие как полная мощность (иногда ее также называют кажущейся). Полная мощность определяется соотношением:

                                                                            .                   (19.11)

Полная мощность равна произведению действующих значений тока и напряжения в ветви. Единица полной мощности – Вольт-Ампер (ВА).

Активная, реактивная и полная мощность связаны между собой соотношением:

                                                                        .              (19.12)

Графически эту связь можно изобразить в виде прямоугольного треугольника (Рис. 19.6).

Рис. 19.6

Сравнивая треугольник мощностей с треугольниками токов, напряжений и сопротивлений, нетрудно обнаружить, что:

                                                               ,      (19.13)

где     

           

Также очевидны следующие соотношения:

                                                                         .                (19.14)

В выражениях (19.14) фигурирует параметр . Его называют коэффициентом мощности. Коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной мощности.

Мощность синусоидального режима в комплексной форме

Чрезвычайно удобно рассчитывать мощность синусоидального режима в комплексной форме. Пусть напряжение на некотором участке цепи:

                                                                           .                  (19.15)

Ток участка:

                                                                            .                   (19.16)

При определении мощности надо знать угол между напряжением и током:

.

Если комплекс напряжения (19.15) умножить на комплекс, сопряженный с комплексом тока, результирующее комплексное число будет содержать в себе разность (а не сумму) углов  и . Это число и есть комплекс полной мощности:

                                             .                                                                               (19.17)

Знак ~ над комплексом полной мощности показывает, что, с одной стороны, полная мощность – это не синусоидальная функция времени (комплексы которых обозначаются точкой), с другой стороны – это и не параметр цепи (комплексы параметров цепи обозначаются здесь чертой под символом).

Как и всякое комплексное число, полную мощность можно представить в тригонометрической и алгебраической форме:

                                             .                                                                               (19.18)

Таким образом, в комплексной форме действительная часть полной мощности – это активная мощность, мнимая часть – реактивная мощность.

Пусть комплексное сопротивление участка цепи равно , комплексный ток участка равен . Тогда напряжение участка по закону Ома:

                                                                             .                    (19.19)

Подставим (19.19) в (19.17):

                                                                .       (19.20)