Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 16

Произведение двух сопряженных чисел равно квадрату их модуля, поэтому полная мощность в комплексной форме равна произведению квадрата действующего значения тока (действительного числа) на комплексное сопротивление.

Представив полное сопротивление в (19.20) в алгебраической форме, имеем:

                                    .                                                                               (19.21)

Составим баланс мощности в комплексной форме. Полная мощность источников, очевидно, будет описываться выражением:

                                                         .                                                                               (19.22)

Полная мощность потребителей:

                                                       .                                                                               (19.23)

Баланс мощности в комплексной форме:

                                                      .                                                                               (19.24)

В комплексной форме достаточно рассчитать один баланс мощности, а не два баланса активной и реактивной мощности. Баланс мощности (19.24) включает в себя сразу как активную, так и реактивную мощность. При этом автоматически учитываются знаки при реактивных сопротивлениях, а значит, автоматически определяется, индуктивной или емкостной является реактивная мощность.

20. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ RLC

Рассмотрим некоторую цепь с последовательным соединением резистора, индуктивной катушки и конденсатора (Рис. 20.1).

Рис. 20.1

Определим ток в цепи, если ЭДС изменяется по синусоидальному закону:

                                                                      .               (20.1)

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для синусоидальных функций:

                                                    .                                                                                (20.2)

Уравнение (20.2) – интегро-дифференциальное, и его решение может быть представлено в виде суммы какого-либо частного решения и решения однородного уравнения. Однородное уравнение – это уравнение с нулевой правой частью. Уравнение превратится в однородное, если ЭДС в цепи будет равна нулю.

Если ЭДС – синусоидальная функция, то частное решение уравнения (20.2) также можно представить в виде синусоидальной функции с той же частотой:

                                                                  .           (20.3)

Начальная фаза тока в выражении (20.3) – это пока не известная постоянная. В данном случае ее удобно записать с минусом, ведь если  – это угол между напряжением и током на входе, то при нулевой начальной фазе ЭДС начальная фаза тока – это минус :

.

В установившемся режиме составляющая тока, обусловленная решением однородного уравнения (при ), стремится к нулю, поэтому далее рассматривать ее не будем.

Представим ЭДС в виде:

и преобразуем синус суммы углов, используя формулу:

.

                                 .                                                                                (20.4)

Подставим (20.3) и (20.4) в (20.2):

.                                                                                (20.5)

Не вызывает сомнения, что уравнение (20.5) должно быть справедливо для любого момента времени , и в частности, при  (20.5) принимает вид:

                                                             .      (20.6)

При  (20.5) принимает вид:

                                                                    .             (20.7)

Возведем (20.6) и (20.7) в квадрат и почленно сложим. Так как , получим:

                                                          .  (20.8)

Откуда

                                                       .                                                                                (20.9)

Поделив (20.6) на (20.7), получим:

                                                          . (20.10)

Итак, решение интегро-дифференциального уравнения (20.2) имеет вид:

                                                   ,                                                                               (20.11)

где , , .

Сами по себе реактивные сопротивления  и  больше нуля, но эквивалентное реактивное сопротивление  может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Проанализируем векторные диаграммы, соответствующие всем трем случаям.

Первый случай. , . Построение первой векторной диаграммы разберем подробно, ибо здесь чрезвычайно важна последовательность построения векторов. Выбрав масштабы тока и напряжения, прежде всего, строим вектор тока, так как ток в цепи один, и все остальные векторы будем ориентировать относительно вектора тока. Пусть вектор тока направлен горизонтально слева направо (Рис. 20.2 а).

Далее строим вектор напряжения на резисторе , он совпадает по фазе с током (Рис. 20.2 б).

Из конца вектора  строим вектор , изображающий падение напряжения на катушке (Рис. 20.2 в). Этот вектор направлен вертикально вверх, так как на катушке напряжение опережает ток на угол .

Рис. 20.2

Из конца вектора  строим вектор , изображающий падение напряжения на конденсаторе (Рис. 20.2 г). Этот вектор направлен вертикально вниз, так как на конденсаторе напряжение отстает от тока на угол .

Наконец, соединяем начало первого вектора с концом последнего. Этот вектор изображает ЭДС  (Рис. 20.2 д).

Начальная фаза ЭДС равна нулю, значит, вектор  должен совпадать с действительной осью на комплексной плоскости. Изображаем действительную и мнимую оси, а также обозначаем начальную фазу тока (Рис. 20.2 е).

В дальнейшем оси координат нам не понадобятся, поэтому их можно убрать, имея в виду, что вектор  во всех режимах совпадает с действительной осью. Заменим на диаграмме угол минус на угол , как показано на Рис. 20.3.