Паралельно із методикою вивчення
функції , розглянемо й методику вивчення
. Під час вивчення цих функцій у 7-му
класі можна навести приклади залежності між змінними, які приводять до цих
функцій (залежність площі квадрата від довжини його сторони S=a2,
залежність об’єму куба від довжини його сторони V=a3 )/
Почати вивчення функцій і
слід
з побудови графіка за допомогою таблиці, а потім прийти до узагальнення. Учні
заповнюють таблицю для цілочисельних значень аргументу, а утворені точки
сполучають плавною лінією. Учитель пояснює, що криву функції
називають параболою (функції
- гіперболою) і показує їх точне
зображення (на таблиці, плакаті).
Можна запропонувати учням, ще до заповнення таблиць і побудови графіків дослідити їх властивості і передбачити деякі особливості в розташуванні графіків на основі відомих учням властивостей виразів х2 і х3 . Справді, обидва графіки мають пройти через початок координат, оскільки при х=0 у=0.
При для
функції
у завжди додатне. Це означатиме, що
графік лежатиме вище осі х, крім точки (0;0).
Для функції при
і
, а при
за властивістю степеня з непарним
показником. Це означає, що при
графік
міститиметься в першій координатній чверті, а при
-
у третій чверті.
Підготовкою до вивчення властивостей
зростання і спадання функцій є усні вправи на встановлення тих ділянок області
визначення функції , де при зростанні
аргументу х значення функції теж зростають і де при зростанні значення х
значення у зменшується. За графіком функції
учні
можуть встановити, що на всій області визначення при зростанні х
значення у зростає.
Обов’язковими є такі знання про
властивості графіка функції :
-
весь графік функції розмішений
у верхній координатній півплощині;
- тільки одна його точка лежить на осі х;
- графік симетричний відносно осі у;
-
кожна гілка параболи – графіка функції - нескінченна.
Мікрокалькулятор дасть можливість
переконатися в тому, що при досить близьких до нуля значеннях аргументу графіки
функцій ,
майже
збігаються з віссю х.
Для зручності виконання побудов та застереження від неправильних побудов використовують шаблони графіків. Для прискорення побудови графіків бажано мати спеціальну дошку з координатною сіткою.
в) функція .
Вивчення цієї функції доцільно починати з розгляду конкретних прикладів.
1. Площа прямокутника, виміри якого дорівнюють х і у виражається формулою ху=к
, .
2. Відстань між двома пунктами дорівнює 150 м, х – швидкість руху, м/с, у – час руху, с. Тоді .
У цих прикладах змінні х та у набувають лише додатних значень і пов’язані між собою так, що із збільшенням значень х у кілька разів відповідні значення у зменшуються в стільки ж разів. Такі змінні називають обернено пропорційними.
Формулами ,
задаються функції: функція, яку
можна задати формулою виду
, де х – незалежна
змінна і к – число, що не дорівнює нулю, називається оберненою пропорційністю.
Областю визначення функції є множина всіх дійсних чисел,
відмінних від 0. це випливає з того, що вираз
має
зміст при всіх значеннях х, де
.
Далі розглядається графік функції для k>0 і k<0 .
підкреслюється, що графіком функції
є дві криві
лінії, що утворюють одну геометричну фігуру, яка називається гіперболою. Для
побудови графіків кількох функцій
при додатних і
від’ємних х учні повинні зробити висновок щодо розташування гіперболи у
відповідних координатних чвертях залежно від знака к, характеру зміни
значень функції із зростанням значень аргументу.
Поступово учні засвоюють властивості і
функції для k>0 і k<0 у такому
формулюванні:
1. Функція , де к – додатне число,
набуває від’ємних значень, коли
і додатних
значень, коли
.
2. Функція , де к – додатне число, спадає
на кожному з проміжків (-¥; 0) (0; +¥).
3. Функція , де к – від’ємне число,
набуває додатних значень, якщо
, і від’ємних
значень, якщо
.
4. Функція , де к – від’ємне число,
зростає на кожному з проміжків (-¥; 0) і (0; +¥)..
Для кращого сприйняття цих властивостей учнями доцільно, щоб вони колективно склали таблицю, де ці властивості пов’язувалися б з відповідними графіками.
У 10 класі після введення означень
зростаючої, спадної, парної і непарної функцій треба знову звернутися до
властивостей функції , довести її аналітично,
послуговуючись відповідними означеннями.
г) Функція ,
де
.
Квадратичною функцією називають
функцію, яку можна задати формулою виду ,
де х – незалежна змінна, a, b і c – деякі числа, причому
.
При вивченні квадратичної функції у
9-му класі на етапі мотивації неважко навести при клади залежностей, які
задаються функцією , котра є окремим випадком
квадратичної, і важче підібрати аналогічні приклади для загального вигляду
функції. Проте такий приклад є. У курсі фізики учні вивчають формулу положення
тіла відносно системи координат у будь-який момент часу t: за
прискореного руху
, де
- початкова координата;
- початкова швидкість
(проекція вектора швидкості на вісь х);
-
прискорення (проекція вектора прискорення на вісь х).
Найскладнішим для сприймання учнями є
навчальний матеріал, що стосується побудови графіка квадратичної функції
загального вигляду ,. Тому не випадково учнів
готують до цього шляхом послідовного розгляду питань побудови графіків функцій
,
,
, спираючись на
побудову відомого графіка функції
. З метою
актуалізації опорних знань і вмінь треба повторити розв’язування вправ на
виділення квадратного двочлена з тричлена
за
певних числових значень a,
b, c і лише після цього перейти до розв’язування задачі в загальному
вигляді.
д)
У шкільних підручниках функція розглядається у зв’язку з вивченням
квадратних коренів. Співставляються дві задачі: знайти площу S квадрата за його стороною а і
відповідно знайти сторону а квадрата, якщо відома його площа S. Підкреслюється, що формулами
, де
і
задаються функціональні залежності
між одними й тими ж самими змінними проте у першому випадку незалежною змінною
є сторона квадрата, а другому – площа.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.