Вирази та їх перетворення, страница 29

Поняття “дріб” і “дробове число” трактують не всі однаково. Одні вважають, що це синоніми, інші ж підкреслюють, , дріб – не число, а лише символ для позначення числа. Дріб відрізняється від дробового числа приблизно так само, як цифра від натурального числа. Саме такого погляду дотримуються у сучасній математиці. Ототожнювати дріб з дробовим числом не доцільно вже хоч би тому, що тому самому дробовому числу відповідає безліч різних дробів.

З яких дробів краще починати в школі: звичайних, чи десяткових? Це питання досить дискусійне. Уже більше ста років одні пропонують спочатку вивчати звичайні дроби, а потім десяткові, інші – навпаки, спочатку десяткові, а вже потім звичайні.

У наших загальноосвітніх школах довгий час спочатку вивчали звичайні дроби, а потім десяткові. Прихильники такої послідовності вивчення дробових чисел наводять такі аргументи:

5)  десятковий дріб є видом звичайного дробу, і щоб дати означення десяткового дробу, треба спочатку дати поняття про звичайний дріб;

6)  якщо починати з вивчення десяткових дробів, то при множенні і діленні виникнуть труднощі і неминуче знизиться науковий рівень викладання.

Однак інші методисти вважають, що краще починати з десяткових дробів, бо:

7)  для практичних потреб досить знати лише десяткові дроби;

8)  дії над десятковими дробами виконувати легше, ніж над звичайними;

9)  всю теорію десяткових дробів можна побудувати, не використовуючи поняття звичайного дробу, а лише поширюючи прийняту в нас десяткову систему нумерації на розряди менші 1.

Ця дискусія ще не закінчилася, хоч тепер, як і раніше, учні спочатку розглядають звичайні дроби і лише потім – десяткові.

Звичайні дроби.

Поняття дробового числа можна вводити різними способами, тобто розглядати його: 1) як  частку від ділення одного числа на друге; 2) як символ для запису однієї або кількох однакових часток якого-небудь предмета; 3) як результат вимірювання. У теоретичній арифметиці перевагу надають першому способу. З’ясувавши, що в множині натуральних чисел ділення не завжди можливе, вводять нові числа – дробові – і дістають таку числову множину, в якій ділення завжди можливе (за винятком ділення на ).

Зрозуміло, що у 5-6 класах так пояснювати не можна. Тут краще спочатку розглянути якийсь об’єкт, які можна ділити на різні частки (торт, кавун, яблуко, мотузок тощо), розділити його, наприклад, на 8 рівних частин і пояснити, що замість того, щоб писати “одна восьма частина яблука” пишуть “ яблука ” і т.д. Згодом слід зауважити, що для вимірювання довжин, площ та інших величин натуральних чисел не досить, для цього треба знати і дробові числа. При поясненні цього матеріалу рекомендується використовувати паперові смужки, лінійки, прямокутники, круги, поділені на кілька рівних частин, та інші посібники. Вже на першому уроці варто ввести терміни “чисельник”, “знаменник”, “члени дробу”, пояснити, як читати і записувати дроби. Слід зазначити, що звичайні дроби читаються неоднозначно.

 

Особливу увагу треба приділити тому, щоб учні розуміли, кожний дріб – це часто від ділено його чисельника на знаменник. Після цього неважко пояснити учням, що довільне натуральне число можна записати у вигляді дробу із знаменником 1.

Обов’язково треба розповісти про зображення дробів точками на координатному промені, а також розв’язувати обернену задачу: зазначити на промені точки з даними координатами. З координатним променем зручно пов’язати і основну властивість дробу і питання про їх порівняння.

Відомо, що правила дії додавання і множення при кожному розширенні поняття числа не доводяться, а означаються. Але в 5-6 класах так абстрактно пояснювати не можна. Доцільніше ілюструвати це правило конкретними прикладами.

Після двох-трьох прикладів формулюємо правило: щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники і залишити той самий знаменник. Аналогічно можна ознайомити учнів із правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Питання про додавання та віднімання дробів з різними знаменниками пропонується розглянути в 6 класі. Відповідне правило є дуже громіздким і вимагати, щоб кожен учень відтворював його дослівно, необов’язково. Достатньо буде, якщо учень сформулює лише частину цього правила: ”Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, треба спочатку звести їх до спільного знаменника, потім відняти або додати здобуті дроби”.

Правило множення звичайних дробів можна дістати, використовуючи вже відоме правило множення десяткових дробів. Але можна й міркувати інакше – скористатись відомим учням способом  знаходження площі прямокутника. Після цього слід сформулювати правило множення дробів і приступити до тренувальних вправ.

Правило ділення зручно формулювати так: щоб поділити одне число на друге, треба ділене помножити на число, обернене дільнику.

Десяткові дроби.

Вводити десяткові дроби можна по-різному: або використовувати при цьому уже відоме учням поняття звичайного дробу, або не використовувати. При поясненні зручно скористатися співвідношеннями між відомими учням одиницями матричної системи мір, і пояснювати. Наприклад, так:

Ми вже знаємо, що багатоцифрове число має розряди одиниць, десятків, сотень і т.д. Наприклад, число 463 має 3 одиниці, 6 десятків і 3 сотні. Але існують і такі числа, які мають розряди десятих, сотих і т.д.. наприклад, відомо, що 1 дм. становить одну десяту частину метра, 3 дм. – 3 десятих метра. Тому замість 12 м. 3 дм. можна сказати “12 метрів і ще 3 десятих метра” або “дванадцять цілих і 3 десятих метра”.

Замість 12 м 3 дм пишуть 12,3м.

Так само замість 12 м 36 см пишуть 12,36 м.

Подивимося, які розряди має число 12,36. В ньому 1 десяток, 2 одиниці, 3 десятих і 6 сотих. А в числі 3,406 є 3 одиниці, 4 десятих, 0 сотих, і 6 тисячних.

12,3, 12,36, 3, 406 – все це десяткові дроби.

Означення десяткового дробу в 5-му класі можна не давати.