Вирази та їх перетворення, страница 33

Перетворення добутків одночлена і многочлена, а також двох многочленів у многочлен стандартного вигляду виконується з використанням розподільної властивості множення і правила множення одночленів.

Вивчення множення одночленів завершується розв’язуванням кількох вправ на виконання оберненого перетворення – подання даного многочлена у вигляді добутку двох одночленів, з яких один заданого вигляду. Наприклад, представити одночлен   можна у вигляді добутку двох одночленів, з яких один є .

Такі уміння потрібні будуть надалі під час розкладання многочленів на множники.

Піднесення одночленів до степеня не викликає труднощів у учнів. Проте деякі з них забувають підносити до степеня коефіцієнт.

До основних видів тотожних перетворень многочленів належать: зведення многочленів до стандартного вигляду, додавання і віднімання многочленів, множення многочлена на одночлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки), множення многочлена на многочлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом групування).

Зведення многочлена до стандартного вигляду виконується зведенням подібних членів (зведення подібних доданків). Важливо, щоб учні могли пояснити теоретичну основу цього перетворення і правило його виконання (щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти  і приписати до одержаного числа співмножником спільну буквену частину подібних членів).

Додавання і віднімання многочленів являє собою позначення цих дій і зведення подібних членів. При цьому учні повинні добре знати  правило відкриття дужок, перед якими стоїть знак “+”, або “-”.

У курсі алгебри вивчається й обернене перетворення. Тому учні мають знати правило взяття многочлена в дужки, якщо перед ними стоїть знак “+” або “-”.

Множення одночлена на многочлен фактично відоме учням перетворення, з яким вони стикались в 5-6 класах, вивчаючи розподільний закон множення числа стосовно додавання.

Що стосується множення многочлена на многочлен, то слід зазначити про  2 способи множення: або всі члени першого многочлена  спочатку помножити на перший член другого, або перший член  першого многочлена помножити на кожний член другого і т.д. Схематично  їх можна зобразити  так:

 

Однак з учнями краще домовитися завжди користуватися тільки першим способом, щоб було менше розходжень під час колективного виконання вправ. Та й перевіряти самостійні роботи учнів легше, коли всі вони виконані одним способом [Додаток].

Корисно навести і геометричну інтерпретацію. З мал.. видно, що площа прямокутника сі сторонами   і   дорівнює сумі площ шести прямокутників, які відповідно дорівнюють  , , , , , .

Отже, .

Проте так можна ілюструвати цю рівність тільки для додатних чисел.

 

 
                                                        

Іноді в окремих учнів виникають труднощі у сприйнятті під час вивчення окремого перетворення – розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки. При вивченні цього тотожного перетворення важливо мотивувати потребу в ньому. [додаток]

Учитель коментує кожний крок розв’язання, звертаючи увагу на те, що для перших прикладів треба кожного разу спочатку визначити спільний множник, а відтак подати кожний член многочлена у вигляді добутку спільного множника і одночлена. Цей добуток і дасть відповідний член.

Після розв’язування ще кількох вправ доцільно сформулювати учням правило розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки: 1)знайти спільний множник всіх членів многочлена; 2) кожний член многочлена подати у вигляді добутку двох множників, з яких один спільний; 3) винести спільний множник за дужки, спираючись на розподільний закон множення.

У традиційному курсі алгебри вивчалась дія ділення одночленів, а тому другого кроку правило розкладання многочленів на множники виконувалось ділення кожного члена  на спільний множник. У сучасній методичній системі під час розв’язання перших прикладів другий крок доцільно виконувати письмово. Надалі це можна робити усно.

Доцільно виділяти спеціальне правило відшукання спільного множника членів многочлена. Для цього треба: 1) знайти найбільший  спільний дільник всіх коефіцієнтів членів; 2) помножити його на степені змінних з найменшим показником, з яким вони входять  до всіх членів многочлена.

Типовою помилкою, яку учні допускають, виконуючи зазначене перетворення, є така: учні не ставлять в дужках число 1 замість члена, який збігається  зі спільним множником після його винесення за дужки. Тому прикладам, на зразок   треба приділити належну увагу.

Формули скороченого множення.

Відповідно до чинної програми у 7 класі передбачено вивчення формул скороченого множення. Під формулами скороченого множення розуміють найпростіші випадки формули Ньютона і тотожності

 .

Основна увага приділяється таким п’ятьом перетворенням:

;

;     

.

У курсах алгебри деяких зарубіжних країн розглядається також формула  . Ці формули використовують часто, тому треба добитися, щоб учні міцно їх запам’ятали. Запам’ятовуванню формул і їх застосуванню сприяє вміння учнів дати  словесне формулювання формули. Запам’ятовуванню формул сприяє також їх геометричне тлумачення (рис.  ).

                                                  

Доведення формул скороченого множення не викликає труднощів. Звісно, спочатку треба розкрити мету вивчення всієї теми (додаток). Труднощі виникають у частини учнів під час застосування формул, особливо у зворотному порядку. Отже, у всіх видів застосування формул скороченого множення особливої уваги заслуговують вправи на обернене перетворення. Важливе значення цих вправ полягає в тому, що прийоми, які при цьому відпрацьовуються, знаходять широке використання при вивченні наступних тем шкільного курсу алгебри – квадратичних рівнянь та нерівностей, квадратичної функції та ін. Перш ніж братися до застосування формул для скороченого множення виразів і виконання оберненого перетворення, треба розв’язати кілька усних вправ на знаходження квадратів одночленів з числовими коефіцієнтами, на запис одночлена у вигляді квадрата одночлена.